שינויים

התאמת גלואה

נוספו 3 בתים, 13:56, 2 בספטמבר 2018
התאמת גלואה היא הלב של תורת גלואה ועליה מושתתות הרבה תוצאות חשובות. ההתאמה מתבטאת במשפט היסודי של תורת גלואה הקובע כי יש התאמה בין שדות ביניים של הרחבת גלואה ובין תתי החבורות של חבורת גלואה שלה.
 == המשפט היסודי של תורת גלואה == '''משפט:''' תהי <math>E/F</math> הרחבת גלואה ממימד מממד סופי ותהי <math>G=\text{Gal}(E/F)</math> אזי קיימת התאמה חח"ע ועל בין::א. תתי שדות תת־שדות <math>F\subseteq sube K\subseteq sube E</math>:ב. תתי חבורות תת־חבורות <math>H\leq le G</math>ההתאמה שולחת חבורה <math>H</math> אל השדה <math>E^H=\bigl\{a\in E|:\sigma a=a~\forall\sigma\in H\bigr\}</math> ותת שדה ותת־שדה <math>F\subseteq sube K\subseteq sube E</math> אל החבורה <math>\text{Gal}(E/K)</math> (פונקציות אלו הפוכות זו לזו). בנוסף, ההתאמה מקיימת:
:1. <math>|H|=[E:E^H]</math>
:2. <math>[E^H:F]=[G:H]</math>
:3. <math>H_1\subseteq sube H_2</math> אם ורק אם <math>E^{H_1}\supseteq supe E^{H_2}</math> (אין טעות; כוון ההכלה מתהפך):4. <math>H</math> נורמלית ב-<math>G</math> אם ורק אם <math>E^H/F</math> נורמלית אם ורק אם <math>E^H/F</math> גלואה. במקרה זה, <math>\text{Gal}(E^H/F)\cong G/H</math>. האיזומורפיזם נתון ע"י שליחת קוסט <math>\sigma H</math> אל <math>\sigma|_{E^H}</math>.
'''הערה:''' קיים אנלוג של המשפט הנ"ל גם להרחבות גלואה אינסופיות.
==חישוב בידיים של ההתאמה==
נניח כי <math>E/F</math> הרחבת גלואה מממד סופי ומצאנו את חבורת גלואה <math>G=\text{Gal}(E/F)</math> .
בהינתן שדה <math>F\sube K\sube E</math> קל למצוא את תת החבורה המתאימה לו <math>H=\text{Gal}(E/K)</math> ע"י בדיקה אילו מאברי <math>G</math> מייצבים את <math>K</math> . בפרט, אם <math>K= חישוב בידיים של ההתאמה ==F[a_1,\ldots,a_n]</math> מספיק לבדוק אילו מאברי <math>G</math> מייצבים את <math>a_1,\ldots,a_n</math> .
נניח ש-לעומת זאת, בהינתן תת־חבורה <math>E/FH\le G</math> הרחבת גלואה ממימד סופי ומצאנו את חבורת גלואה לא תמיד ברור מהו תת־השדה המתאים לה <math>GK=Gal(E/F)^H</math>.
בהינתן שדה ראשית, נשים לב שהתנאי <math>Fa\subseteq K\subseteq in E^H</math> קל למצוא את תת החבורה המתאימה לו אומר <math>H\sigma a=Gal(Ea</K)math> לכל <math>\sigma\in H</math> ע"י בדיקה אילו מאברי . היות וכל <math>G\sigma\in H</math> מייצבים את היא העתקה לינארית מעל <math>KF</math>. בפרט, אם התנאים <math>K\{\sigma a=a\}_{\sigma\in H}</math> שקולים למשוואות לינאריות מעל <math>F[a_1,...,a_n]</math> מספיק לבדוק אילו מאברי . בסיס למרחב הפתרונות יהיה בסיס ל־<math>GE^H</math> מייצבים את מעל <math>a_1,...,a_nF</math>.
לעומת זאת, בהינתן תת חבורה שימו לב שכדי לתרגם משוואה מהצורה <math>H\leq Gsigma a=a</math> לא תמיד ברור מהו תת השדה המתאים לה למשוואה לינארית מעל <math>F</math> יש לבחור בסיס ל־<math>K=E^H</math>כמרחב וקטורי מעל <math>F</math> . (הנעלמים יהיו הסקלרים אותם נכפיל באברי הבסיס.)
ראשית, נשים לב שהתנאי <math>a\in E^H</math> אומר <math>\sigma a=a</math> לכל <math>\sigma\in H</math>. היות וכל <math>\sigma\in H</math> היא העתקה לינארית מעל <math>F</math>, התנאים <math>\{\sigma a=a\}_{\sigma\in H}</math> שקולים למשוואות לינאריות מעל <math>F</math>. בסיס למרחב הפתרונות יהיה בסיס ל-<math>E^H</math> מעל <math>F</math>.  שימו לב שכדי לתרגם משוואה מהצורה <math>\sigma a=a</math> למשוואה לינארית מעל <math>F</math> יש לבחור בסיס ל-<math>E</math> כמרחב וקטורי מעל <math>F</math>. (הנעלמים יהיו הסקלרים אותם נכפיל באברי הבסיס.) השיטה הנ"ל אמנם תמיד עובדעובדת, אך בדרך כלל לוקחת אורכת זמן לביצוע. לכן, אם אפשר עדיף לנסות למצוא איברים אברים <math>a_1,...\ldots,a_n\in E^H</math> ולקוות שהם יוצרים את <math>E^H</math> מעל <math>F</math>. כעת יש שתי שאלות: איך נמצא את האיברים האברים ואיך נדע שהם יוצרים את <math>E^H</math>.
תשובה לשאלה השנייה נובעת מהטענה הבאה:
'''טענה:''' <math>E^H=F[a_1,\dotsldots,a_n]</math> אם ורק אם <math>H</math> מייצבת את <math>a_1,...\ldots,a_n</math> וגם <math>[F[a_1,\dotsldots,a_n]:F]\geq ge[G:H]</math>.
'''הוכחה:''' תרגיל בעזרת המשפט היסודי של תורת גלואה.
לשאלה הראשונה אין תשובה פורמלית (חוץ מלפתור משוואות). לפעמים ברור שאיברים שאברים הם ב-ב־<math>E^H</math> והם גם מספיקים כדי ליצור את כולו. להלן שתי דוגמאות::1. אם <math>\sigma</math> הוא צמצום של הצמוד המרוכב, אז כל מספר ממשי ב-ב־<math>E</math> נמצא ב-ב־<math>E^\sigma</math>.:2. נניח ש-כי <math>E</math> שדה פיצול של <math>f</math> מעל <math>F</math> ויהיו <math>a_1,\dotsldots,a_k\in E</math> השורשים של <math>f</math>. אזי ניתן לחשוב על אברי <math>G</math> כתמורות ב-ב־<math>S_k</math> (המתאימות לתמורות על השורשים <math>a_1,\dotsldots,a_k</math>). נשים לב שאם <math>\sigma\in H</math> היא מכפלה של מחזורים זרים שאחד מהם הוא <math>(n_1,\dotsldots,n_r)</math> אז <math>\sum_sum\limits_{i=1}^ra_{n_i},~\prod_prod\limits_{i=1}^ra_{n_i}\in E^{<\sigma>}</math>.:3. באותן הנחות כמו ב-2ב־2, אם האינדקס <math>n</math> לא מופיע בייצוג של <math>\sigma\in H</math> כמכפלת מחזורים זרים, אז <math>\sigma a_n=a_n</math>.
'''דוגמא:''' נניח ש-כי <math>E=\mathbb{Q}[\sqrt[4]{2},i],~F=\mathbb{Q}</math>. ההרחבה <math>E/F</math> חבורת גלואה ונוצרת ע"י שתי העתקות <math>\sigma,\alpha</math> הנתונות ע"י:: <math>\begin{align}\sigma(i)&=-i,~\sigma(\sqrt[4]{2})=\sqrt[4]{2}</math>: <math>\\\alpha(i)&=i,~\alpha(\sqrt[4]{2})=i\sqrt[4]{2}\end{align}</math>האיברים האברים <math>\sigma,\alpha</math> מקיימים את היחסים <math>\alpha^4=\sigma^2=id</math> ו-<math>,\alpha\sigma=\alpha^-1\sigma</math> (עם עוד קצת נימוקים זה מספיק כדי להראות ש-כי <math>\text{Gal}(E/F)\cong D_4</math>). בדקו שהחבורה <math><\sigma\alpha></math> מכילה שני איבריםאברים.
כדי למצוא את <math>E^{<\sigma\alpha>}</math> נזכר ש-כי <math>E</math> שדה פיצול של <math>x^4-2</math> ושורשי הפולינום הם <math>\sqrt[4]{2},i\sqrt[4]{2},-\sqrt[4]{2},-i\sqrt[4]{2}</math> נסמן אותם ב-ב־<math>a_1,a_2,a_3,a_4</math> בהתאמה. כעת, התמורה המתאימה ל-ל־<math>\sigma\alpha</math> היא <math>(1,4)(2,3)</math>. לכן, <math>b=a_1+a_4\in E^H</math>.
נבדוק האם <math>\mathbb{Q}[b]=E^H</math>. מתקיים <math>b=\sqrt[4]{2}-i\sqrt[4]{2}=(1-i)\sqrt[4]{2}=\rho_8^3\sqrt[4]{8}</math> באשר <math>\rho_8=e^{\exp(frac{2\pi i/}{8)}i}</math>. לכן, <math>b</math> שורש של <math>x^4+8</math> (במובן מסויים מסוים <math>b=\sqrt[4]{-8}</math> אם כי הניסוח הזה לא אומר באיזה שורש מדובר). נשאיר את זה כתרגיל לבדוק שמדובר בפולינום אי פריק (רמז: הציבו <math>x=2y^{-1}</math>). לכן ההרחבה <math>\mathbb{Q}[b]/\mathbb{Q}</math> היא ממעלה 4. אבל <math>[E^{<\sigma\alpha>}:\mathbb{Q}]=[G:<\sigma\alpha>]=4</math> ולכן <math>E^{<\sigma\alpha>}=\mathbb{Q}[\rho_8^3\sqrt[4]{8}]</math>.
'''דוגמא:''' בסימונים של הדוגמא הקודמת, מהו <math>E^{<\sigma\alpha^2>}</math>?
תשובה: התמורה המתאימה ל-ל־<math>\sigma^2\alpha</math> היא <math>(1,3)</math>. לכן, <math>i\sqrt[4]{2}=a_2\in E^{<\sigma\alpha^2>}</math>. אותם שיקולי מימד ממד מהדוגמא הקודמת יראו ש-כי <math>E^{<\sigma\alpha^2>}=\mathbb{Q}[i\sqrt[4]{2}]</math>. == בסיסים נורמליים ואיך להשתמש בהם ==
==בסיסים נורמליים ואיך להשתמש בהם==
בקרוב... אלא אם אחד הסטודנטים מתנדב לכתוב בעצמו את הערך הזה.
[[קטגוריה:תורת גלואה]]
225
עריכות