שינויים

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

שדה סופי

נוספו 45 בתים, 14:01, 2 בספטמבר 2018
'''שדה סופי''' הוא - למה כבר אפשר לצפות - [[שדה]] [[קבוצה סופית|סופי]], כלומר, שדה שיש בו מספר סופי של אברים.
הדוגמא המוכרת ביותר הם השדות מסדר ראשוני, <math>\ \mathbb{Z}_pZ_p</math>, אבל יש גם שדות סופיים אחרים.
כמו ב[[חבורה|חבורות]], ה"סדר" של השדה הוא מספר האברים שלו. וכמו בחבורות, הסדר הוא הפרמטר החשוב ביותר בתאור השדה. למעשה, הרבה יותר מבחבורות: כל שני שדות סופיים מאותו סדר הם [[איזומורפיזם|איזומורפיים]].
== סדרים אפשריים ==ה[[מאפיין]] של שדה סופי הוא מספר ראשוני <math>p</math> . השדה מכיל [[תת-שדה ראשוני]] שהוא איזומורפי ל־<math>\Z_p</math> . השדה הוא [[מרחב וקטורי]] מעל תת־השדה הזה, ומכיוון שיש לו [[ממד]] סופי, הוא איזומורפי *בתור מרחב וקטורי* ל־<math>\Z_p^n</math> (התאור הזה קובע את פעולת החיבור, ולכן גם את המבנה כחבורה חיבורית, אבל לא את פעולת הכפל). מכאן שהגודל של שדה סופי הוא חזקה של ראשוני <math>p</math> .
ה[[מאפיין]] של שדה סופי הוא מספר ראשוני, p. השדה מכיל [[תת-שדה ==קיום==לכל חזקת ראשוני]] שהוא איזומורפי ל-<math>\ \mathbb{Z}_pq=p^n</math>. השדה הוא [[מרחב וקטורי]] מעל תת-השדה הזה, ומכיוון שיש לו [[ממד]] סופי, הוא איזומורפי *בתור מרחב וקטורי* ל-קיים שדה מסדר <math>\ \mathbb{Z}_p^nq</math> (התאור הזה קובע את פעולת החיבור, ולכן גם את המבנה כחבורה חיבורית, אבל לא את פעולת הכפל). מכאן שהגודל של שדה סופי הוא חזקה של ראשוני p.
'''הוכחה'''. נתבונן בפולינום <math>x^{q}-x</math> מעל השדה הראשוני <math>F=\Z_p</math> . יהי <math>K</math> [[שדה מפצל]] של הפולינום הזה. נתבונן בתת־הקבוצה <math>K_0= קיום =\{a\in K:a^q=a\}</math> . קל לראות שהיא סגורה לכפל; והיא סגורה לחיבור בשל [[אוטומורפיזם פרובניוס]]. לכן זהו תת־שדה. יש בו בדיוק <math>q</math> אברים, בגלל צירוף הסיבות הבאות:#מספר ה[[שורש של פולינום|שורשים]] של הפולינום אינו יכול לעבור את המעלה;#הפולינום [[פולינום ספרבילי|ספרבילי]] ולכן אין לו שורשים חוזרים;#הפולינום מתפצל ב־<math>K_0</math> מכיוון שהוא מתפצל ב־<math>K</math> .
לכל חזקת ראשוני כדי לבנות באופן מפורש שדה מסדר <math>\ q = p^n</math> קיים , יש להכיר [[פולינום אי-פריק]] <math>f\in F[x]</math> מ[[מעלה]] <math>n</math> . במקרה זה, [[חוג מנה|חוג המנה]] <math>F[x]/F[x]f(x)</math> הוא שדה מסדר qמכיוון ש־<math>F[x]f(x)</math> [[אידיאל מקסימלי]].
'''הוכחה'''. נתבונן בפולינום <math>\ x^{q}-x</math> מעל השדה הראשוני <math>\ F = \mathbb{Z}_p</math>. יהי K [[שדה מפצל]] של הפולינום הזה. נתבונן בתת-הקבוצה <math>\ K_0 = \{a \in K : a^q יחידות== a\}</math>. קל לראות שהיא סגורה לכפל; והיא סגורה לחיבור בשל [[אוטומורפיזם פרובניוס]]. לכן זהו תת-שדה. יש בו בדיוק q אברים, בגלל צירוף הסיבות הבאות:# מספר ה[[שורש של פולינום|שורשים]] של הפולינום אינו יכול לעבור את המעלה;# הפולינום [[פולינום ספרבילי|ספרבילי]] ולכן אין לו שורשים חוזרים;# הפולינום מתפצל ב-<math>\ K_0</math> מכיוון שהוא מתפצל ב-K.
כדי לבנות באופן מפורש שדה מסדר העובדה שמכל סדר <math>\ q=p^n</math>, יש להכיר [[פולינום אי-פריק]] <math>\ f \in F[x]</math> מ[[מעלה]] n. במקרה זה, [[חוג מנה|חוג המנה]] <math>\ F[x]/F[x]f(x)</math> הוא שדה מכיוון ש-<math>\ F[x]f(x)</math> [[אידיאל מקסימלי]]. == יחידות == העובדה שמכל סדר q יש לכל היותר שדה אחד נובעת מיחידות [[שדה פיצול|שדה הפיצול]] (טענה זו אינה בחומר לקורס "מבנים אלגבריים").
[[קטגוריה:תורת גלואה]]
[[קטגוריה:89214]]
225
עריכות