שינויים

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

פולינום מינימלי

נוספו 55 בתים, 14:24, 2 בספטמבר 2018
[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]
==הגדרה==
תהי <math>A </math> מטריצה ריבועית. אזי הפולינום המינימלי של A, מסומן <math>m_A(x)</math> הפולינום המינימלי של <math>A</math> הוא הפולינום המתוקן מהדרגה הנמוכה ביותר המקיים::<math>m_A(A)=0</math> הערה: פולינום מתוקן הינו פולינום מהצורה <math>x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...\cdots+a_1x+a_0</math>, כלומר המקדם של המונום בעל החזקה הגבוהה ביותר הינו אחדהנו 1.
==תכונות==
 *לכל פולינום <math>f כך ש </math> עבורו <math>f(A)=0</math> מתקיים <math>m_A(x)|f(x)</math>. בפרט מ[[משפט קיילי-המילטון]] נובע כי הפולינום המינימלי מחלק את הפולינום האופייני.*לפולינום האופייני והפולינום המינימלי בדיוק אותם גורמים אי פריקיםאי־פריקים. בפרט, השורשים של הפולינום המינימלי הם הערכים העצמיים של המטריצה.**מסקנה: על מנת על־מנת לחשב את הפולינום המינימלי, נמצא את הפולינום המכיל את הגורמים האי פריקים האי־פריקים של הפולינום האופייני, בחזקות הכי נמוכות, המאפס את המטריצה
==תרגילים==
 
===א===
הוכח כי למטריצות דומות אותו פולינום מינימלי
 
'''הוכחה.'''
ראשית נשים לב לעובדה הבאה- יהי פולינום <math>f </math> ותהיינה מטריצות דומות <math>A,B </math> אזי גם המטריצות <math>f(A),f(B)</math> דומות.
אכן, נסמן <math>f(x)=a_nx^n+...+a_0</math> ונסמן <math>A=P^{-1}BP</math>. לכן:
225
עריכות