הגדרנו מתי חבורה G היא '''מכפלה ישרה פנימית''' של שתי תת-חבורות שלה (הן צריכות להיות נורמליות, בעלות חיתוך טריוויאלי, וכך שמכפלתן היא כל החבורה). הוכחנו שכל מכפלה ישרה חיצונית היא גם מכפלה ישרה פנימית, ושמכפלה ישרה פנימית איזומורפית למכפלה ישרה חיצונית של תת-החבורות.
== הרצאה שביעית ==
הוכחנו, בעזרת משפט האיזומורפיזם הראשון, את משפט האיזומורפיזם השני (אם <math>\ N,H\leq G</math> ו-N נורמלית אז <math>\ H/(N\cap H)\cong HN/N</math>) והשלישי (אם <math>\ K \leq N \leq G</math> ושתיהן נורמליות ב-G, אז <math>\ (G/K)/(N/K) \cong G/N</math>). הוכחנו את המודולריות של סריג תת-החבורות הנורמליות: לכל שלוש תת-חבורות A,B,C כך ש- <math>\ A \subset C</math>, הביטוי <math>\ A \cdot B \cap C</math> אינו תלוי בסדר הסוגריים. זוהי אינה "המודולריות של סריג תת-החבורות", משום שאם A,B,C סתם תת-חבורות, לא מובטח שהקבוצות המשתתפות בחישוב הזה הן בעצמן תת-חבורות; לעומת זאת המכפלה והחיתוך של תת-חבורות נורמליות הם תת-חבורות נורמליות. '''תרגיל''': אם A,B,C תת-חבורות נורמליות ו- <math>\ A \subset C</math> תת-חבורה מאינדקס סופי, הוכח ש- <math>\ |C/A|=|BC/BA|\cdot |C\cap B / A \cap B|</math>.
הסברנו את ההתאמה בין אוסף תת-החבורות של G המכילות תת-חבורה נורמלית K, לבין אוסף תת-החבורות של חבורת המנה G/K. ההתאמה הזו שומרת (בשני הכיוונים) על הכלה, ולכן היא חד-חד-ערכית ושומרת על חיתוך ומכפלה. היא שומרת גם על נורמליות ועל מנות ואינדקסים. '''תרגיל'''. נסח את הטענות האלה במפורש, והוכח אחת או שתיים מהן.
הגדרנו כמה מושגים הקשורים באברים מתחלפים: המרכז (מם צרויה) של חבורה G הוא אוסף האברים <math>\ Z(G)</math> המתחלפים עם כל אברי החבורה. זוהי תמיד תת-חבורה נורמלית. הראינו שהמרכז של החבורה הסימטרית הוא טריוויאלי.
המרכז (ריש פתוחה) של איבר g הוא אוסף האברים המתחלפים איתו, והמרכז (כנ"ל) של תת-חבורה הוא אוסף האברים המתחלפים עם כל איבר בחבורה. '''תרגיל''': כתוב, כפסוק על אברים בלבד, את שלוש הטענות הבאות: <math>\ A \subseteq C_G(B)</math>; <math>\ AB = BA</math>; <math>\ A \triangleleft AB</math>.
אברים x,g מתחלפים אם ורק אם הצמדת g על-ידי x אינה משנה את האיבר. ברוח זו, הגדרנו את יחס הצמידות על החבורה: שני אברים הם צמודים אם אפשר להגיע מאחד לשני על-ידי הצמדה, כלומר, הצמודים של x הם האברים מהצורה <math>\ g x g^{-1}</math>. הוכחנו שמספר האברים במחלקת הצמידות של a שווה לאינדקס <math>\ [G:C_G(a)]</math>של המרכז של האיבר בחבורה (ומכאן שמספר האברים הזה מחלק את סדר החבורה).