נוספו 1,837 בתים,
18:42, 20 ביוני 2021 בערך זה נגדיר את פונקצית האקספוננט ונוכיח תכונות חשובות שלה.
אמנם יש דרכים אחרות להגדיר את e וחזקות של מספרים, אנחנו נציג גרסא מבוססת על כלים מתקדמים (טורי חזקות) המתאימה גם לשדה המספרים המרוכבים.
==הקדמה==
לכל <math>x\in\mathbb{C}</math> '''נגדיר''' את פונקצית האקספוננט
:<math>e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}</math>
(קל לוודא כי טור החזקות הנ"ל מתכנס בכל שדה המרוכבים.)
'''נגדיר''' את המספר e להיות
:<math>e^1 =\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}</math>
הקוראים עשויים להזדעק ולומר שהסימון <math>e^x</math> שמור לחזקה של שני מספרים; ובכן, אנחנו נגדיר חזקה של שני מספרים באמצעות האקספוננט ונוכיח את התכונות המוכרות של פעולת החזקה.
כלומר נגדיר לכל <math>a,b\in\mathbb{R}</math> כך ש <math>a>0</math> כי
:<math>a^b = e^{b\ln (a)}</math>
כאשר <math>\ln</math> היא הפונקציה ההופכית לאקספוננט בממשיים. (כמובן שעלינו להוכיח כי פונקצית האקספוננט <math>e^x:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> הפיכה.)
==כפל אקספוננטים==
אחת התכונות הבסיסיות והחשובות ביותר של האקספוננט היא
:<math>e^x\cdot e^y = e^{x+y}</math>
כיוון שעדיין לא הגדרנו חזקות, בוודאי לא ניתן להשתמש בחוקי חזקות על מנת להוכיח תכונה זו.
עלינו להוכיח אותה ישירות על ידי ההגדרה של האקספוננט כטור חזקות.
===הוכחה===