שינויים
/* חוקי חזקות */
באופן דומה, אנו רוצים לכפול במספר הופכי (חצי, שליש, וכדומה) על מנת לבצע פעולת חילוק. אנו מגדירים את המספרים ה'''ראציונאליים''' בתור כל השברים של שני מספרים שלמים ומסמנים:
::<math>\mathbb{Q}=\{\frac{p}{q}|p\in \mathbb{Z},q\in \mathbb{ZN}\}</math> (שימו לב לסימון <math>\in</math> האומר '''שייך לקבוצה'''. כמובן שבכיתה ובהמשך נבהיר את הרישום המתמטי)
*לכל <math>x\neq 0</math> מתקיים <math>x^0=1</math> ובפרט <math>0^0=1</math>
*לכל <math>x>0</math> מתקיים <math>0^x=0</math> ובפרט <math>0^0=0</math>
*לכל x כך ששני הצדדים מוגדרים מתקיים <math>x^a\cdot x^b = x^{a+b}</math>
*לכל <math>x,y>0</math> מתקיים <math>x^a\cdot y^a=(xy)^a</math> *לכל <math>x>0</math> מתקיים <math>\big(x^a\big)^b = x^{ab}</math>
*<math>\frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}</math> (תרגיל: הסק כלל זה מהכללים הקודמים)
==תרגילים==
'''תרגיל''' מצא את הפתרונות של המשוואה <math>2\Big(\frac{4^x+1}{2^x}\Big)^2 -7\Big(\frac{4^{-x}+1}{2^{-x}}\Big)+5=0</math>
'''פתרון'''. ראשית נשים לב לכך ש
<math>\frac{4^x+1}{2^x}=\frac{4^{-x}+1}{2^{-x}}=2^x+\frac{1}{2^x}</math>
ולכן נסמן <math>t=2^x+\frac{1}{2^x}</math> ונקבל את המשוואה הריבועית
<math>2t^2-7t+5=0</math> עם הפתרונות <math>t_{1,2}=1,\frac{5}{2}</math>
לכן עלינו לפתור את המשוואות <math>2^x+\frac{1}{2^x}=1</math>, <math>2^x+\frac{1}{2^x}=\frac{5}{2}</math>
ראשית, נביט במשוואה <math>2^x+\frac{1}{2^x}=1</math>. נכפול בשני האגפים ב<math>2^x</math> ונקבל
<math>(2^x)^2-2^x+1=0</math>. נסמן <math>s=2^x</math> ונקבל את המשוואה הריבועית <math>s^2-s+1=0</math> שאין לה פתרונות.
שנית, נביט במשוואה <math>2^x+\frac{1}{2^x}=\frac{5}{2}</math>, נכפול בשני האגפים ב<math>2\cdot 2^x</math> ונקבל
<math>2(2^x)^2 -5(2^x)+2=0</math>. נציב <math>s=2^x</math> ונקבל את המשוואה הריבועית <math>2s^2-5s+2=0</math> עם הפתרונות <math>s_{1,2}=2,\frac{1}{2}</math>.
לכן נותר לנו לפתור את שתי המשוואות <math>2^x=2</math>, <math>2^x=\frac{1}{2}</math>
ולכן '''הפתרונות הסופיים''' הם <math>x=\pm 1</math>
'''תרגיל''' מצא את הפתרונות של המשוואה <math>\Big(\sqrt{2+\sqrt{3}}\Big)^x + \Big(\sqrt{2-\sqrt{3}}\Big)^x=4</math>
'''פתרון''' נכפול את שני אגפי המשוואה בביטוי <math>\Big(\sqrt{2+\sqrt{3}}\Big)^x</math> ונקבל
:<math>\Big(\sqrt{2+\sqrt{3}}\Big)^{2x} + \Big(\sqrt{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}\Big)^x=4\Big(\sqrt{2+\sqrt{3}}\Big)^x</math>
שימו לב, לפי הנוסחא <math>(a-b)(a+b)=a^2-b^2</math> לכפל מקוצר, מתקיים כי <math>(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=4-3=1</math> והרי <math>\sqrt{1}^x=1</math>. לכן קיבלנו
:<math>\Big(\sqrt{2+\sqrt{3}}\Big)^{2x} -4\Big(\sqrt{2+\sqrt{3}}\Big)^x+ 1=0</math>
נציב <math>t=\Big(\sqrt{2+\sqrt{3}}\Big)^x</math> ונקבל את המשוואה הריבועית <math>t^2-4x+1=0</math> עם הפתרונות <math>t_{1,2}=2\pm \sqrt{3}</math>.
לכן נותר לנו לפתור את שתי המשוואות <math>\Big(\sqrt{2+\sqrt{3}}\Big)^x=2\pm \sqrt{3}</math>
המשוואה <math>\Big(\sqrt{2+\sqrt{3}}\Big)^x=2+ \sqrt{3}</math> שקולה למשוואה <math>\Big(2+\sqrt{3}\Big)^{\frac{x}{2}}=2+ \sqrt{3}</math>
ולכן <math>\frac{x}{2}=1</math> ומכאן <math>x=2</math>.
את המשוואה <math>\Big(\sqrt{2+\sqrt{3}}\Big)^x=2- \sqrt{3}</math> נכפול בשני האגפים ב<math>2+\sqrt{3}</math> ונקבל
:<math>(2+\sqrt{3})\Big(\sqrt{2+\sqrt{3}}\Big)^x=1</math>
ולכן
:<math>(\sqrt{2+\sqrt{3}})^2\Big(\sqrt{2+\sqrt{3}}\Big)^x=1</math>
:<math>\Big(\sqrt{2+\sqrt{3}}\Big)^{x+2}=1</math>
ולכן <math>x+2=0</math> כלומר <math>x=-2</math>.
סה"כ '''הפתרונות הסופיים''' הינם <math>x=\pm 2</math>
==לוגריתמים==
==חוקי לוגריתמים==
*<math>\log_a(x)</math> מוגדר רק עבור <math>1\neq a>0</math> (כי הגדרנו חזקות כאשר הבסיס חיוביואם a=1 אז a בחזקת <math>\log_a b</math> הוא מצד אחד b לפי הגדרת הלוגריתם ומצד שני 1 כי 1 בחזקת כל דבר זה 1) וכמו כן מוגדר רק עבור <math>x>0</math> (כיוון שחזקה תמיד נותנת תוצאה חיובית). *<math>a^{\log_a(x)}=x</math>
'''תרגיל''' הוכח <math>\ln log_{10} (2)\cdot\ln log_{10} (40)+\ln log_{10} (5)\cdot\ln log_{10} (4) = \ln log_{10} (8)</math>
