נוספו 2,424 בתים,
07:20, 1 באוגוסט 2012 [[מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור|חזרה למערכי השיעור]]
==על מספרים ומה שביניהם==
הפעם הראשונה שאנו לומדים לספור היא בעזרת האצבעות- אצבע אחת, שתי אצבעות וכן הלאה. במתמטיקה אנו קוראים למספרים האלה '''טבעיים''' ומסמנים:
::<math>\mathbb{N}=\{1,2,3,...\}</math>
לעומת פעולת החיבור הטבעית, פעולת החיסור הידועה לא בדיוק קיימת. מה שאנו מכנים חיסור, הוא למעשה חיבור במספר נגדי. המספרים הטבעיים ביחד עם אפס והמספרים הנגדיים נקראים '''שלמים''' ומסומנים:
::<math>\mathbb{Z}=\{0,\pm 1,\pm 2, ...\}</math>
באופן דומה, אנו רוצים לכפול במספר הופכי (חצי, שליש, וכדומה) על מנת לבצע פעולת חילוק. אנו מגדירים את המספרים ה'''ראציונאליים''' בתור כל השברים של שני מספרים שלמים ומסמנים:
::<math>\mathbb{Q}=\{\frac{p}{q}|p,q\in \mathbb{Z}\}</math> (שימו לב לסימון <math>\in</math> האומר '''שייך לקבוצה'''. כמובן שבכיתה ובהמשך נבהיר את הרישום המתמטי)
שאלה: האם כעת תיארנו את כל המספרים שאנו מכירים?
תשובה: לא. נוכיח כעת כי המספר 'שורש 2', כלומר הפתרון למשוואה <math>x^2=2</math> אינו מספר רציונאלי. לו שורש 2 היה מספר רציונאלי, היה ניתן להציג אותו כשבר '''מצומצם''':
::<math>\sqrt{2}=\frac{p}{q}</math>
נעלה את שני האגפים בריבוע, ונקבל:
::<math>2=\frac{p^2}{q^2}</math>
ולכן
::<math>2q^2=p^2</math>
כלומר p הינו מספר '''זוגי'''. נסמן אם כך <math>p=2a</math>. ולכן:
::<math>2q^2=4a^2</math>
נחלק ב2 את שני האגפים ונקבל
::<math>q^2=2a^2</math>
כלומר גם q הינו מספר '''זוגי'''. אבל זה לא ייתכן, כיוון שהצגנו את שורש 2 כשבר '''מצומצם'''. לכן הגענו ל'''סתירה''' המצביעה על העובדה שההנחה שלנו היא '''לא נכונה'''. ההנחה שלנו כמובן היא ששורש 2 הוא מספר רציונאלי.