שינויים
/* פתרון */
::<math>=\frac{1}{2}sin(t)cos(t)+\frac{1}{2}t + C=\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2}+\frac{1}{2}arcsin{x} + C</math>
*<math>\int\frac{dx}{1+e^x}=\int\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}dx=-ln(1+e^{-x})+C</math>
*<math>\int\frac{1}{xln(x)}dx</math>
נבצע החלפת משתנים
::<math>t=ln(x)</math>
נגזור את שני הצדדים לקבל
::<math>dt=\frac{1}{x}dx</math>
וביחד
::<math>\int\frac{1}{xln(x)}dx=\int\frac{1}{t}dt = ln(t)+C = ln(ln(x)) + C</math>
*<math>\int tan(x)dx = \int \frac{sin(x)}{cos(x)}dx= -ln(cos(x)) + C </math>
==חישוב שטחים באמצעות אינטגרלים==
===דוגמה 1===
חשבו את השטח הכלוא ע"י הפרבולה <math>y^2=4x</math> והישר <math>y=2x-4</math>.
===פתרון===
נצייר את הגרף (1) של הפונקציות ונמצא את 2 נקודות החיתוך: <math>(2x-4)^2=4x\implies x^2-5x+4=0\implies x=1,4</math>.
* '''דרך 1:''' נסובב את מערכת הצירים ב-<math>90^\circ</math> ונקבל גרף (2). עתה נחשב את השטח בין :<math>y^2=4x\implies x=\frac{y^2}4</math> וכן :<math>y=2x-4\implies x=\frac12y+2</math>. קל לראות שהישר מעל הפרבולה, אבל גם אם לא כך אז הסימן של התוצאה יהא הפוך. לכן ניקח ערך מוחלט. שיעורי ה-y של נקודות החיתוך הם <math>-2,4</math> (לפי שיעורי ה-x) ולכן השטח הוא <math>\left|\int\limits_{-2}^4\left(\frac y2+2-\frac{y^2}4\right)\mathrm dy\right|=\left|\left[\frac{y^2}4+2y-\frac{y^3}{12}\right]_{y=-2}^4\right|=9</math>. * '''דרך 2:''' נפרק לשלושה שטחים: השטח <math>S_1</math> בין <math>x=1</math> ל-4 ושני שטחים שווים <math>S_2=S_3</math> בין 0 ל-1, שטח אחד מעל ציר ה-x והשני מתחת. לפיכך השטח הכולל הוא <math>S_1+2S_2=\left|\int\limits_1^4\left(\sqrt{4x}-2x+4\right)\mathrm dx\right|+2\left|\int\limits_0^1\sqrt{4x}\mathrm dx\right|=9</math>
===דוגמה 2===
חשבו את השטח הכלוא בין הגרפים של הפונקציות <math>y=e^x,\ y=2-\frac1{e^x},\ y=0,\ x=-1</math>.
===פתרון===
