שינויים
/* הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות באמצעות מעגל היחידה */
[[מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור|חזרה למערכי השיעור]]
==מוטיבציה לחקר הפונקציות הטריגונומטריות==
כפי שנתאר למטה, הפונקציות הטריגונומטריות הן פונקציות מחזוריות שצורתן נובע מהיחס בין צלעות משולשים ישרי זוית. על כן, השימוש הראשון בפונקציות הטריגונומטריות יהיה בעת חישובים גיאומטריים כמו חישוב תאוצה על חפץ במדרון (פיסיקה), חישוב נקודות מפגש של קווים (ארכיטקטורה, אמנות, הנדסה), תדרי קול (מוזיקה), תדרי גלים אלקטרומגנטיים (ראייה, צילום, תקשורת אלחוטית), ועוד.
נוסף על כך, ישנם גם קשרים מיוחדים בין הפונקציות הטריגונומטריות לפונקציות שימושיות אחרות במתמטיקה. למשל, כפי שנראה בהמשך, השטח מתחת לפונקציה <math>\frac{1}{1+x^2}</math> הוא סוג של פונקציה טריגונומטרית.
==הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות באמצעות מעגל היחידה==
*<math>sin(t)</math> מוגדר להיות ערך ציר ה-<math>y</math> של הנקודה על מעגל היחידה הממוקמת במרחק של <math>t</math> סיבובים כנגד כיוון השעון (תחילת הסיבובים בנקודה <math>(1,0)</math>)
*<math>cos(t)</math> מוגדר להיות ערך ציר ה-<math>x</math> של הנקודה על מעגל היחידה הממוקמת במרחק של <math>t</math> סיבובים כנגד כיוון השעון (תחילת הסיבובים בנקודה <math>(1,0)</math>)
*<math>cot(t):= \frac{cos(t)}{sin(t)}=\frac{1}{tan(t)}</math>
==דגשים חשובים על ערכי הפונקציות הטריגונומטריות==
כפי שקל לראות מהתבננות במעגל היחידה מתקימות התכונות הבאות:
*<math>-1\leq sin(x),cos(x)\leq 1</math>
*<math>sin(0)=0, sin (\pi/2) = 1, sin(\pi)=0, sin(3\pi/2)=-1</math>
*<math>cos(0)=1, cos (\pi/2) = 0, cos(\pi)=-1, cos(3\pi/2)=0</math>
*מחזור <math>2\pi</math>: לכל מספר שלם k מתקיים <math>sin(x+2\pi k) = sin(x), cos(x+2\pi k) = cos(x)</math>
'''תרגיל''': חשב את <math>sin(\pi/4)</math>
==זהויות טריגונומטריות==
ישנן זהויות טריגונומטריות רבות, ניתן לעיין ברשימה מלאה למדי ב[http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%96%D7%94%D7%95%D7%99%D7%95%D7%AA_%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%92%D7%95%D7%A0%D7%95%D7%9E%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%95%D7%AA ויקיפדיה]. בשיעור זה נזכיר חלק מן הזהויות הבסיסיות.
ראשית נביט במשולש הנוצר בין הנקודות:
::<math>O=(0,0),B=(cos(t),sin(t)),C=(cos(t),0)</math>
זהו משולש ישר זוית עם יתר OB שהוא רדיוס המעגל ולכן באורך אחד, ושתי צלעות באורכי <math>|BC|=sin(t),|OC|=cos(t)</math>
לפי משפט פתגורס במשולש ישר זוית אנו מסיקים את הזהות הראשונה:
*<math>sin^2(t)+cos^2(t)=1</math>
זהויות נוספות ש'''חובה''' לדעת בעל פה, הן:
*<math>sin(-x)=-sin(x)</math>
*<math>cos(-x)=cos(x)</math>
*<math>sin(2x)=2sin(x)cos(x)</math>
*<math>cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x)=2cos^2(x)-1=1-2sin^2(x)=\frac{1-tan^2x}{1+tan^2x}</math>
*<math>sin(x+y)=sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)</math>
*<math>cos(x+y)=cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y)</math>
==תרגילים==
'''תרגיל''': הוכח את הזהויות הטריגונומטריות של זוית כפולה לעיל.
'''תרגיל''': הוכח את הזהות הטריגונומטרית <math>2sin(\alpha)sin(\beta)=cos(\alpha-\beta)-cos(\alpha+\beta)</math>
'''תרגיל''': הוכח כי לכל מספר שלם n מתקיים <math>\Big|S_n\Big|=\Big|sin(1)+sin(2)+...+sin(n)\Big|\leq \frac{2}{sin(1)}</math>
'''פתרון''':
נכפול את בקבוע <math>2sin(1)</math> לקבל
::<math>2sin(1)sin(1)+2sin(2)sin(1)+...+2sin(n)sin(1)</math>
נפעיל את הזהות הטריגונומטרית <math>2sin(\alpha)sin(\beta)=cos(\alpha-\beta)-cos(\alpha+\beta)</math>
::<math>cos(0)-cos(2)+cos(1)-cos(3)+cos(2)-cos(4)+...+cos(n-1)-cos(n+1)</math>
נמחק את הביטויים שמצטמצמים ונקבל:
::<math>cos(0)+cos(1)-cos(n)-cos(n+1)</math>
ולכן <math>\Big|S_n\Big|=\Big|\frac{cos(0)+cos(1)-cos(n)-cos(n+1)}{2sin(1)}\Big|\leq \frac{4}{2sin(1)}= \frac{2}{sin(1)}</math>
