שינויים

::<math>\Big(r_1cisrcis\theta\Big)^n=r_1r^ncis(n\theta)</math>   '''מציאת השורשים''' למשוואה מהצורה: ::<math>z^n=rcis\theta</math>  נוסחא: כל השורשים הם מהצורה <math>\sqrt[n]{r}\cdot cis(\frac{\theta+2\pi k}{n})</math> כאשר <math>k=0,1,2,...,n-1</math>    '''תרגיל''': מצא את '''כל''' הפתרונות למשוואה <math>z^4=1</math>   '''פתרון''': נסמן <math>z=rcis\theta</math>. עלינו למצוא זוית ואורך כך שיתקיים:  ::<math>\Big(rcis\theta\Big)^4=cis(0)</math>  ::<math>r^4cis(4\theta)=cis(0)</math>  לכן <math>r=\sqrt[4]{1}=1</math>. ו-<math>\theta</math> היא זוית כך שכפול ארבע נגיע לזוית האפס.  הזויות המקיימות את זה הן: <math>0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2}</math>  כיצד ניתן לחשב את כולן?  נשים לב כי <math>cis(0)=cis(0+2\pi k)</math>  ולכן <math>4\theta = 2\pi k</math>  ולכן <math>\theta = \frac{2\pi k}{4}</math> כאשר <math>k=0,1,2,3</math>   '''תרגיל''': הוכח כי <math>sin(3\theta)=3cos^2(\theta)sin(\theta)-sin^3(\theta)</math>  '''פתרון''':  ::<math>cis(3\theta)=(cis\theta)^3=cos^3\theta+3cos^2\theta\cdot isin\theta + 3cos\theta(isin\theta)^2+(isin\theta)^3=</math>  ::<math>=cos^3\theta -3cos\theta sin^2\theta + i(3cos^2\theta sin\theta - sin^3\theta)</math>   השוואה בין החלקים המדומים מוכיחה את הזהות.   '''תרגיל''': פתרו את המשוואה <math>z^4+2+2\sqrt{3}\cdot i =0</math>   '''תרגיל''': חשב את הביטוי <math>(1+i)^{2012}</math>