שינויים
/* צורות גיאומטריות במישור */
זהו למעשה מרחק הנקודה במרחב מראשית הצירים.
*'''המרחק''' בין שני וקטורים v,u הוא <math>|v-u|</math>
*ה'''מכפלה הסקלרית''' בין שני וקטורים היא <math>(a,b,c)\cdot(x,y,z)=ax+by+cz</math>.
*<math>|u|^2=u\cdot u</math>
*'''הזוית''' בין שני הוקטורים '''במישור''' v,u מקיימת
::<math>cos\theta = \frac{v\cdot u}{|v|\cdot |u|}</math>
'''הוכחה''':
נזכר במשפט הקוסינוסים במשולש בעל צלעות באורכים a,b,c:
:<math>c^2=a^2+b^2-2abcos(\gamma)</math>
כאשר <math>\gamma</math> היא הזוית בין הצלעות המתאימות לa,b
אורך הצלע השלישית במשולש הנוצר על ידי שני הוקטורים הנתונים u,v היא <math>|v-u|</math>
ולכן בסימונים שלנו:
:<math>|v-u|^2=|u|^2+|v|^2-2|u||v|cos\theta</math>
:<math>cos\theta = \frac{v\cdot v + u\cdot u - (v-u)\cdot (v-u)}{2|u||v|} = \frac{v\cdot u}{|u||v|}</math>
הערה: הדבר נכון גם לוקטורים במרחב.
*הוכח כי <math>|v|=\sqrt{v\cdot v}</math>
*הוכח את אי שיוויון המשולש לוקטורים במרחב במישור <math>|u+v|\leq |u|+|v|</math> *הוכח כי המכפלה הוקטורית בין שני וקטורים v,u מאונכת גם לv וגם לu (באמצעות המכפלה הפנימית) ==היטל==היטל של וקטור v על קו ישר הנפרש על ידי וקטור u הינו וקטור על הקו הישר (<math>\alpha u</math>) כך שההפרש <math>v-\alpha u</math> מאונך לישר. מבחינה גיאומטרית, ההיטל הוא הנקודה הקרובה ביותר לוקטור v על הישר. מבחינה פיזיקלית, ההיטל הוא '''הרכיב''' של v בכיוון הישר. נמצא נוסחא להיטל. דרשנו כי ההפרש בין הוקטור להיטל יהיה מאונך לישר, לכן: ::<math>u\cdot (v-\alpha u) = 0</math> ::<math>u\cdot v - u\cdot\alpha u = 0</math> ::<math>\alpha = \frac{u\cdot v}{u\cdot u}</math> ולכן ההיטל של v על הישר הנפרש על ידי הוקטור u הינו: ::<math>(\frac{u\cdot v}{|u|^2})u</math> מצד שני, אנו יודעים כי הזוית בין v לu מקיימת ::<math>cos\theta = \frac{v\cdot u}{|v||u|}</math> ולכן אנו מקבלים נוסחא שניה להיטל המזכירה את הפירוק הפיסיקלי לרכיבים: ::<math>(\frac{|v|}{|u|}cos\theta) u</math> ==צורות גיאומטריות במישור==נתאר מספר צורות גיאומטריות בסיסיות וחשובות: *'''ישר'' **באופן אלגברי במישור: אוסף הנקודות המקיימות משוואה מהצורה <math>Ax+By=D</math>**באופן פרמטרי כללי: בהינתן נקודת התחלה ווקטור כיוון, אוסף הנקודות מהצורה <math>\vec{v_0}+t\vec{v}</math> *'''מעגל''' הוא אוסף נקודות המקיימות משוואה מהצורה <math>(x-a)^2+(y-b)^2=r^2</math> במרחב: *'''מישור''' **באופן אלגברי במרחב: אוסף הנקודות המקיימות משוואה מהצורה <math>Ax+By+Cz=D</math>**באופן פרמטרי כללי: בהנתן נקודת התחחלה ושני וקטורי כיוון <math>\vec{v_0}+t\vec{v_1}+s\vec{v_2}</math> ===תרגילים=== *מצא את משוואת הישר העובר בין הנקודות <math>(2,2),(1,2)</math> *מצא את משוואת המישור העובר בין שלושת הנקודות <math>(1,1,0),(0,0,0),(0,1,1)</math> *מצא את משוואת הישר המאונך לוקטור <math>(1,1)</math> (היוצא מראשית הצירים) ועובר בנקודה <math>(1,1)</math> *מצא את הכיוון המאונך למישור שמשוואתו <math>x+2y-3z=5</math> '''פתרון''': ישר המאונך למישור, לפי הגדרה, מאונך לכל קו ישר העובר במישור. כל כיוון של קו ישר העובר במישור מיוצר על ידי הפרש בין שתי נקודות במישור. ניקח שתי נקודות כלליות במישור המיוצג על ידי המשוואה <math>Ax+By+Cz=D</math> ונגלה כי ::<math>(A,B,C)\cdot (u_1-u_2)=0</math> ולכן הכיוון המאונך למישור הנתון הוא <math>(1,2,-3)</math>
