הבדלים בין גרסאות בדף "מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/1/פתרון דוגמא 1"

גרסה מ־07:09, 3 באוגוסט 2012

דוגמא:

מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא:

פתרון:

על מנת לפתור את אי השיוויון נחלק את האפשרויות של המשתנה x למקרים שונים בהם אנחנו יודעים עבור כל אחד מהביטויים בתוך ערך מוחלט אם הוא חיובי או שלילי.

בכל אחד מהמקרים שנקבל, נוכל לדעת האם אפשר להסיר את הערך המוחלט או להחליף אותו בסימן מינוס.

ראשית, נבדוק עבור כל אחד מהביטויים מתחת לערך המוחלט, בנפרד, מתי הם שליליים ומתי הם חיוביים:

אם ורק אם:

$x\geq 1$ או $x \leq -1$

אם ורק אם:

$x\geq 2$

ביחד אנו מקבלים את המקרים הבאים:

מתקיים $x^2-1\geq 0$ וגם $x-2\geq 0$

מתקיים $x^2-1\geq 0$ וגם $x-2< 0$

מתקיים $x^2-1< 0$ וגם $x-2< 0$

נבדוק עבור אילו ערכי x מתוך כל אחד מהמקרים לעיל מתקיים אי השיוויון.

x^2-1+x-2>4x+5

x^2-3x-8>0

נמצא מהם ערכי x שגם נמצאים בתחום אותו אנו בודקים וגם מקיימים את אי השיוויון:

\begin{cases}x\geq 2 \\ x^2-3x-8>0\end{cases}

ערכי x אשר מתקיים את שתי אי השיוויונים לעיל הם

x> \frac{3+\sqrt{41}}{2}

לכן ערכי x אשר גם נמצאים בתחום וגם אינם מקיימים את אי השיוויון הם

2\leq x \leq \frac{3+\sqrt{41}}{2}

כלומר, בתוך התחום בו אנו עוסקים כעת, אנו יודעים בדיוק מתי מתקיים אי השיוויון ומתי אינו מתקיים. נמשיך אל התחומים הבאים:

@@ שורה 77: / שורה 77: @@
 ::<math>\begin{cases}x\geq 2 \\ x^2-3x-8>0\end{cases}</math>
+ערכי x אשר מתקיים את שתי אי השיוויונים לעיל הם
+::<math>x> \frac{3+\sqrt{41}}{2}</math>
+לכן ערכי x אשר '''גם''' נמצאים בתחום ו'''גם אינם''' מקיימים את אי השיוויון הם
+::<math>2\leq x \leq \frac{3+\sqrt{41}}{2} </math>
+כלומר, בתוך התחום בו אנו עוסקים כעת, אנו יודעים '''בדיוק''' מתי מתקיים אי השיוויון ומתי אינו מתקיים. נמשיך אל התחומים הבאים: