''';דוגמא'''.מצא עבור אילו ערכי <math>x</math> מתקיים אי-השוויון הבא: *<math>|x^2-1|+|x-2|>4x+5</math>
מצא עבור אילו ערכי x מתקיים ;פתרון.על-מנת לפתור את אי השיוויון הבא:-השוויון נחלק את האפשרויות של המשתנה <math>x</math> למקרים שונים בהם אנחנו יודעים עבור כל אחד מהביטויים בתוך ערך מוחלט אם הוא חיובי או שלילי.
*<math>|x^2-1| + |x-2|>4x+5</math>בכל אחד מהמקרים שנקבל, נוכל לדעת האם אפשר להסיר את הערך המוחלט או להחליף אותו בסימן מינוס.
===חלוקה למקרים===
ראשית, נבדוק עבור כל אחד מהביטויים מתחת לערך המוחלט, בנפרד, מתי הם שליליים ומתי הם חיוביים:
'''פתרון''':*<math>x^2-1\ge0</math>
על מנת לפתור את אי השיוויון נחלק את האפשרויות של המשתנה x למקרים שונים בהם אנחנו יודעים עבור כל אחד מהביטויים בתוך ערך מוחלט אם הוא חיובי או שלילי.ורק אם:
בכל אחד מהמקרים שנקבל, נוכל לדעת האם אפשר להסיר את הערך המוחלט <math>x\ge1</math> '''או להחליף אותו בסימן מינוס.''' <math>x\le-1</math>
ראשית, *<math>x-2\ge0</math> אם ורק אם: <math>x\ge2</math> ביחד אנו מקבלים את המקרים הבאים:*עבור <math>x\ge2</math> מתקיים <math>x^2-1\ge0</math> '''וגם''' <math>x-2\ge0</math> *עבור <math>1\le x<2</math> '''או''' <math>x\le-1</math> מתקיים <math>x^2-1\ge0</math> '''וגם''' <math>x-2<0</math> *עבור <math>-1<x<1</math> מתקיים <math>x^2-1<0</math> '''וגם''' <math>x-2<0</math> ===פתרון אי-השוויון בכל אחד מן המקרים===נבדוק עבור אילו ערכי <math>x</math> מתוך כל אחד מהביטויים מתחת לערך המוחלטמהמקרים לעיל מתקיים אי-השוויון. *עבור <math>x\ge2</math> אי-השוויון נראה כך::<math>\begin{align}x^2-1+x-2>4x+5\\x^2-3x-8>0\end{align}</math> נמצא מהם ערכי <math>x</math> ש'''גם''' נמצאים בתחום אותו אנו בודקים ו'''גם''' מקיימים את אי-השוויון: :<math>\begin{cases}x\ge2\\x^2-3x-8>0\end{cases}</math> ערכי <math>x</math> אשר מקיימים את שתי אי-השוויונות לעיל הם :<math>x>\dfrac{3+\sqrt{41}}{2}</math> לכן ערכי <math>x</math> אשר '''גם''' נמצאים בתחום ו'''גם אינם''' מקיימים את אי-השוויון הם :<math>2\le x\le\dfrac{3+\sqrt{41}}{2}</math> כלומר, בנפרדבתוך התחום בו אנו עוסקים כעת, אנו יודעים '''בדיוק''' מתי הם שליליים מתקיים אי-השוויון ומתי אינו מתקיים. נמשיך אל התחומים הבאים: *עבור <math>1\le x<2</math> '''או''' <math>x\le-1</math> אי-השוויון נראה כך::<math>\begin{align}x^2-1-(x-2)>4x+5\\x^2-5x-4>0\end{align}</math> מסתבר שערכי <math>x</math> ש'''גם''' נמצאים בתחום אותו אנו בודקים ו'''גם''' מקיימים את אי-השוויון הם חיוביים: :<math>x\le-1</math> ואילו ערכי <math>x</math> שנמצאים בתחום ואינם מקיימים את אי-השוויון הם: :<math>1\le x<2</math> נסיים במקרה הנותר: *עבור <math>-1<x<1</math> אי-השוויון נראה כך::<math>\begin{align}-x^2+1-x+2>4x+5\\x^2+5x+2<0\end{align}</math> ערכי <math>x</math> אשר '''גם''' נמצאים בתחום ו'''גם''' מקיימים את אי-השוויון הם: :<math>-1<x<\dfrac{\sqrt{17}-5}{2}</math> ואילו ערכי <math>x</math> בתחום שאינם מקיימים את אי-השוויון הנם: :<math>\dfrac{\sqrt{17}-5}{2}\le x<1</math>
===סיכום התוצאות===
אי-השוויון מתקיים עבור ערכי <math>x</math> הבאים:
===1===*<math>\begin{align}x^&>\dfrac{3-1+\sqrt{41}}{2}\\geq 0</math> אם"ם <math>x\geq 1&</math> '''או''' <math>x \leq dfrac{\sqrt{17}-15}{2}\end{align}</math>
