שינויים
===חלוקה למקרים===
ראשית, נבדוק עבור כל אחד מהביטויים מתחת לערך המוחלט, בנפרד, מתי הם שליליים ומתי הם חיוביים:
אם ורק אם:
ביחד אנו מקבלים את המקרים הבאים:
*עבור <math>x\ge2</math>
*עבור <math>x1\geq le x<2</math> '''או''' <math>x\le-1</math>
מתקיים <math>x^2-1\ge0</math> '''וגם''' <math>x-2<0</math>
===פתרון אי-השוויון בכל אחד מן המקרים===
נבדוק עבור אילו ערכי <math>x</math> מתוך כל אחד מהמקרים לעיל מתקיים אי-השוויון.
נמצא מהם ערכי <math>x</math> ש'''גם''' נמצאים בתחום אותו אנו בודקים ו'''גם''' מקיימים את אי-השוויון:
:<math>\begin{cases}x\ge2\\x^2-3x-8>0\end{cases}</math>
ערכי <math>x</math> אשר מקיימים את שתי אי-השוויונות לעיל הם
לכן ערכי <math>x</math> אשר '''גם''' נמצאים בתחום ו'''גם אינם''' מקיימים את אי-השוויון הם
:<math>2\le x\le\dfrac{3+\sqrt{41}}{2}</math> כלומר, בתוך התחום בו אנו עוסקים כעת, אנו יודעים '''בדיוק''' מתי מתקיים אי-השוויון ומתי אינו מתקיים. נמשיך אל התחומים הבאים: *עבור <math>1\le x<2</math> '''או''' <math>x\le-1</math> אי-השוויון נראה כך::<math>\begin{align}x^2-1-(x-2)>4x+5\\x^2-5x-4>0\end{align}</math> מסתבר שערכי <math>x</math> ש'''גם''' נמצאים בתחום אותו אנו בודקים ו'''גם''' מקיימים את אי-השוויון הם: :<math>x\le-1</math> ואילו ערכי <math>x</math> שנמצאים בתחום ואינם מקיימים את אי-השוויון הם: :<math>1\le x<2</math> נסיים במקרה הנותר: *עבור <math>-1<x<1</math> אי-השוויון נראה כך::<math>\begin{align}-x^2+1-x+2>4x+5\\x^2+5x+2<0\end{align}</math> ערכי <math>x</math> אשר '''גם''' נמצאים בתחום ו'''גם''' מקיימים את אי-השוויון הם: :<math>-1<x<\dfrac{\sqrt{17}-5}{2}</math> ואילו ערכי <math>x</math> בתחום שאינם מקיימים את אי-השוויון הנם: :<math>\dfrac{\sqrt{17}-5}{2}\le x<1</math>
===סיכום התוצאות===
אי-השוויון מתקיים עבור ערכי <math>x</math> הבאים:
