''';דוגמא'''.מצא עבור אילו ערכי <math>x</math> מתקיים אי-השוויון הבא: *<math>|x^2-1|+|x-2|>4x+5</math>
מצא עבור אילו ערכי x מתקיים ;פתרון.על-מנת לפתור את אי השיוויון הבא:-השוויון נחלק את האפשרויות של המשתנה <math>x</math> למקרים שונים בהם אנחנו יודעים עבור כל אחד מהביטויים בתוך ערך מוחלט אם הוא חיובי או שלילי.
*<math>|x^2-1| + |x-2|>4x+5</math>בכל אחד מהמקרים שנקבל, נוכל לדעת האם אפשר להסיר את הערך המוחלט או להחליף אותו בסימן מינוס.
===חלוקה למקרים===
ראשית, נבדוק עבור כל אחד מהביטויים מתחת לערך המוחלט, בנפרד, מתי הם שליליים ומתי הם חיוביים:
'''פתרון''':*<math>x^2-1\ge0</math>
על מנת לפתור את אי השיוויון נחלק את האפשרויות של המשתנה x למקרים שונים בהם אנחנו יודעים עבור כל אחד מהביטויים בתוך ערך מוחלט אם הוא חיובי או שלילי.ורק אם:
בכל אחד מהמקרים שנקבל, נוכל לדעת האם אפשר להסיר את הערך המוחלט <math>x\ge1</math> '''או להחליף אותו בסימן מינוס.''' <math>x\le-1</math>
===חלוקה למקרים===ראשית, נבדוק עבור כל אחד מהביטויים מתחת לערך המוחלט, בנפרד, מתי הם שליליים ומתי הם חיוביים:*<math>x-2\ge0</math>
אם ורק אם:
*<math>x^2-1\geq 0ge2</math>
אם ורק אם:
<math>x\geq 1</math> '''או''' <math>x \leq -1</math>
ביחד אנו מקבלים את המקרים הבאים:
*עבור <math>x\ge2</math>
*מתקיים <math>x^2-1\ge0</math> '''וגם''' <math>x-2\geq 0ge0</math>
אם ורק אם:
*עבור <math>x1\geq le x<2</math> '''או''' <math>x\le-1</math>
מתקיים <math>x^2-1\ge0</math> '''וגם''' <math>x-2<0</math>
ביחד אנו מקבלים את המקרים הבאים:*עבור <math>-1<x<1</math>
*עבור מתקיים <math>x\geq ^2-1<0</math> '''וגם''' <math>x-2<0</math>
===פתרון אי-השוויון בכל אחד מן המקרים===
נבדוק עבור אילו ערכי <math>x</math> מתוך כל אחד מהמקרים לעיל מתקיים אי-השוויון.
מתקיים *עבור <math>x^2-1\geq 0ge2</math> '''וגם''' אי-השוויון נראה כך::<math>\begin{align}x^2-1+x-2>4x+5\geq \x^2-3x-8>0\end{align}</math>
נמצא מהם ערכי <math>x</math> ש'''גם''' נמצאים בתחום אותו אנו בודקים ו'''גם''' מקיימים את אי-השוויון:
:<math>\begin{cases}x\ge2\\x^2-3x-8>0\end{cases}</math>
*עבור <math>1\leq x < 2</math> '''או''' <math>x\leq -1</math>
ערכי <math>x</math> אשר מקיימים את שתי אי-השוויונות לעיל הם
מתקיים :<math>x^2-1>\geq 0</math> '''וגם''' <math>x-dfrac{3+\sqrt{41}}{2< 0}</math>
לכן ערכי <math>x</math> אשר '''גם''' נמצאים בתחום ו'''גם אינם''' מקיימים את אי-השוויון הם
:<math>2\le x\le\dfrac{3+\sqrt{41}}{2}</math> כלומר, בתוך התחום בו אנו עוסקים כעת, אנו יודעים '''בדיוק''' מתי מתקיים אי-השוויון ומתי אינו מתקיים. נמשיך אל התחומים הבאים: *עבור <math>-1\le x<2</math> '''או''' <math>x\le-1</math> אי-השוויון נראה כך::<math>\begin{align}x^2-1-(x-2)>4x+5\\x^2-5x-4>0\end{align}</math> מסתבר שערכי <math>x</math> ש'''גם''' נמצאים בתחום אותו אנו בודקים ו'''גם''' מקיימים את אי-השוויון הם:
:<math>x\le-1</math>
מתקיים ואילו ערכי <math>x^2-1< 0</math> '''וגם''' <math>xשנמצאים בתחום ואינם מקיימים את אי-2< 0</math>השוויון הם:
:<math>1\le x<2</math>
===פתרון אי השיוויון בכל אחד מן המקרים===
נבדוק עבור אילו ערכי x מתוך כל אחד מהמקרים לעיל מתקיים אי השיוויון.
נסיים במקרה הנותר:
*עבור <math>-1<x\geq 2<1</math> אי השיוויון -השוויון נראה כך::<math>\begin{align}-x^2+1-x+2>4x+5\\x^2+5x+2<0\end{align}</math>
::ערכי <math>x^2-1+x-2>4x+5</math>אשר '''גם''' נמצאים בתחום ו'''גם''' מקיימים את אי-השוויון הם:
::<math>-1<x^2<\dfrac{\sqrt{17}-3x-8>05}{2}</math>
ואילו ערכי <math>x</math> בתחום שאינם מקיימים את אי-השוויון הנם:
נמצא מהם ערכי x ש'''גם''' נמצאים בתחום אותו אנו בודקים ו'''גם''' מקיימים את אי השיוויון:<math>\dfrac{\sqrt{17}-5}{2}\le x<1</math>
===סיכום התוצאות===
אי-השוויון מתקיים עבור ערכי <math>x</math> הבאים:
::*<math>\begin{casesalign}x&>\geq dfrac{3+\sqrt{41}}{2 }\\ x^2&<\dfrac{\sqrt{17}-3x-8>05}{2}\end{casesalign}</math>
