''';דוגמא'''.מצא עבור אילו ערכי <math>x</math> מתקיים אי-השוויון הבא: *<math>|x^2-1|+|x-2|>4x+5</math>
מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא: *<math>|x^2-1| + |x-2|>4x+5</math> ''';פתרון''':.על -מנת לפתור את אי השיוויון -השוויון נחלק את האפשרויות של המשתנה <math>x </math> למקרים שונים בהם אנחנו יודעים עבור כל אחד מהביטויים בתוך ערך מוחלט אם הוא חיובי או שלילי.
בכל אחד מהמקרים שנקבל, נוכל לדעת האם אפשר להסיר את הערך המוחלט או להחליף אותו בסימן מינוס.
===חלוקה למקרים===
ראשית, נבדוק עבור כל אחד מהביטויים מתחת לערך המוחלט, בנפרד, מתי הם שליליים ומתי הם חיוביים:
*<math>x^2-1\geq 0ge0</math>
אם ורק אם:
<math>x\geq 1ge1</math> '''או''' <math>x \leq le-1</math>
*<math>x-2\geq 0ge0</math>
אם ורק אם:
<math>x\geq 2ge2</math>
ביחד אנו מקבלים את המקרים הבאים:
*עבור <math>x\ge2</math>
*עבור מתקיים <math>x^2-1\geq ge0</math> '''וגם''' <math>x-2\ge0</math>
מתקיים *עבור <math>x^2-1\geq 0le x<2</math> '''וגםאו''' <math>x-2\geq 0le-1</math>
מתקיים <math>x^2-1\ge0</math> '''וגם''' <math>x-2<0</math>
*עבור <math>-1\leq <x < 2</math> '''או''' <math>x\leq -1</math>
מתקיים <math>x^2-1<0</math> '''וגם''' <math>x-2<0</math>
מתקיים ===פתרון אי-השוויון בכל אחד מן המקרים===נבדוק עבור אילו ערכי <math>x^2-1\geq 0</math> '''וגם''' <math>xמתוך כל אחד מהמקרים לעיל מתקיים אי-2< 0</math>השוויון.
*עבור <math>x\ge2</math> אי-השוויון נראה כך:
:<math>\begin{align}x^2-1+x-2>4x+5\\x^2-3x-8>0\end{align}</math>
נמצא מהם ערכי <math>x</math> ש'''גם''' נמצאים בתחום אותו אנו בודקים ו'''גם''' מקיימים את אי-השוויון:
*עבור :<math>\begin{cases}x\ge2\\x^2-13x-8>0\end{cases}</math> ערכי <math>x<1/math> אשר מקיימים את שתי אי-השוויונות לעיל הם :<math>x>\dfrac{3+\sqrt{41}}{2}</math>
מתקיים <math>x^2-1< 0</math> '''וגם''' <math>x-2< 0</math>
לכן ערכי <math>x</math> אשר '''גם''' נמצאים בתחום ו'''גם אינם''' מקיימים את אי-השוויון הם
:<math>2\le x\le\dfrac{3+\sqrt{41}}{2}</math>
===פתרון אי השיוויון בכל אחד מן המקרים===
נבדוק עבור אילו ערכי x מתוך כל אחד מהמקרים לעיל מתקיים אי השיוויון.
*עבור <math>x\geq 2</math> כלומר, בתוך התחום בו אנו עוסקים כעת, אנו יודעים '''בדיוק''' מתי מתקיים אי השיוויון נראה כך-השוויון ומתי אינו מתקיים. נמשיך אל התחומים הבאים:
*עבור <math>1\le x<2</math> '''או''' <math>x\le-1</math> אי-השוויון נראה כך:
:<math>\begin{align}x^2-1-(x-2)>4x+5\\x^2-5x-4>0\end{align}</math>
::<math>x^2-1+x-2>4x+5</math>
::מסתבר שערכי <math>x^2-3x-8>0</math>ש'''גם''' נמצאים בתחום אותו אנו בודקים ו'''גם''' מקיימים את אי-השוויון הם:
:<math>x\le-1</math>
נמצא מהם ואילו ערכי <math>x ש'''גם''' נמצאים </math> שנמצאים בתחום אותו אנו בודקים ו'''גם''' ואינם מקיימים את אי השיוויון-השוויון הם:
:<math>1\le x<2</math>
::<math>\begin{cases}x\geq 2 \\ x^2-3x-8>0\end{cases}</math>
ערכי x אשר מתקיים את שתי אי השיוויונים לעיל הם נסיים במקרה הנותר:
*עבור <math>-1<x<1</math> אי-השוויון נראה כך::<math>\begin{align}-x^2+1-x+2> 4x+5\frac{3\x^2+5x+2<0\sqrtend{41}}{2align}</math>
ערכי <math>x</math> אשר '''גם''' נמצאים בתחום ו'''גם''' מקיימים את אי-השוויון הם:
לכן ערכי :<math>-1<x אשר '''גם''' נמצאים בתחום ו'''גם אינם''' מקיימים את אי השיוויון הם <\dfrac{\sqrt{17}-5}{2}</math>
::ואילו ערכי <math>2\leq x \leq \frac{3+\sqrt{41}}{2} </math>בתחום שאינם מקיימים את אי-השוויון הנם:
:<math>\dfrac{\sqrt{17}-5}{2}\le x<1</math>
===סיכום התוצאות===
אי-השוויון מתקיים עבור ערכי <math>x</math> הבאים:
כלומר, בתוך התחום בו אנו עוסקים כעת, אנו יודעים '''בדיוק''' מתי מתקיים אי השיוויון ומתי אינו מתקיים. נמשיך אל התחומים הבאים:*<math>\begin{align}x&>\dfrac{3+\sqrt{41}}{2}\\x&<\dfrac{\sqrt{17}-5}{2}\end{align}</math>
