''';דוגמא'''.מצא עבור אילו ערכי <math>x</math> מתקיים אי-השוויון הבא: *<math>|x^2-1|+|x-2|>4x+5</math>
מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא: *<math>|x^2-1| + |x-2|>4x+5</math> ''';פתרון''':.על -מנת לפתור את אי השיוויון -השוויון נחלק את האפשרויות של המשתנה <math>x </math> למקרים שונים בהם אנחנו יודעים עבור כל אחד מהביטויים בתוך ערך מוחלט אם הוא חיובי או שלילי.
בכל אחד מהמקרים שנקבל, נוכל לדעת האם אפשר להסיר את הערך המוחלט או להחליף אותו בסימן מינוס.
===חלוקה למקרים===
ראשית, נבדוק עבור כל אחד מהביטויים מתחת לערך המוחלט, בנפרד, מתי הם שליליים ומתי הם חיוביים:
*<math>x^2-1\geq 0ge0</math>
אם ורק אם:
<math>x\geq 1ge1</math> '''או''' <math>x \leq le-1</math>
*<math>x-2\geq 0ge0</math>
אם ורק אם:
<math>x\geq 2ge2</math>
ביחד אנו מקבלים את המקרים הבאים:
*עבור <math>x\ge2</math>
*עבור מתקיים <math>x^2-1\geq ge0</math> '''וגם''' <math>x-2\ge0</math>
מתקיים <math>x^2-1\geq 0</math> '''וגם''' <math>x-2\geq 0</math> *עבור <math>1\leq le x < 2</math> '''או''' <math>x\leq le-1</math> מתקיים <math>x^2-1\geq 0</math> '''וגם''' <math>x-2< 0</math>
מתקיים <math>x^2-1\ge0</math> '''וגם''' <math>x-2<0</math>
*עבור <math>-1<x<1</math>
מתקיים <math>x^2-1<0</math> '''וגם''' <math>x-2<0</math>
מתקיים <math>x^2-1< 0</math> '''וגם''' <math>x-2< 0</math> ===פתרון אי השיוויון -השוויון בכל אחד מן המקרים===נבדוק עבור אילו ערכי <math>x </math> מתוך כל אחד מהמקרים לעיל מתקיים אי השיוויון-השוויון.
*עבור <math>x\geq 2ge2</math> אי השיוויון -השוויון נראה כך::<math>\begin{align}x^2-1+x-2>4x+5\\x^2-3x-8>0\end{align}</math>
::נמצא מהם ערכי <math>x^2-1+x-2>4x+5</math>ש'''גם''' נמצאים בתחום אותו אנו בודקים ו'''גם''' מקיימים את אי-השוויון:
::<math>\begin{cases}x\ge2\\x^2-3x-8>0\end{cases}</math>
נמצא מהם ערכי <math>x ש'''גם''' נמצאים בתחום אותו אנו בודקים ו'''גם''' </math> אשר מקיימים את שתי אי השיוויון:-השוויונות לעיל הם
:<math>x>\dfrac{3+\sqrt{41}}{2}</math>
::<math>\begin{cases}x\geq 2 \\ x^2-3x-8>0\end{cases}</math>
לכן ערכי <math>x </math> אשר מתקיים '''גם''' נמצאים בתחום ו'''גם אינם''' מקיימים את שתי אי השיוויונים לעיל -השוויון הם
::<math>2\le x> \fracle\dfrac{3+\sqrt{41}}{2}</math>
לכן ערכי x אשר כלומר, בתוך התחום בו אנו עוסקים כעת, אנו יודעים '''גםבדיוק''' נמצאים בתחום ו'''גם אינם''' מקיימים את מתי מתקיים אי השיוויון הם -השוויון ומתי אינו מתקיים. נמשיך אל התחומים הבאים:
::*עבור <math>21\leq le x<2</math> '''או''' <math>x \leq le-1</math> אי-השוויון נראה כך::<math>\fracbegin{3align}x^2-1-(x-2)>4x+5\sqrt{41}}{\x^2-5x-4>0\end{align} </math>
מסתבר שערכי <math>x</math> ש'''גם''' נמצאים בתחום אותו אנו בודקים ו'''גם''' מקיימים את אי-השוויון הם:
:<math>x\le-1</math>
ואילו ערכי <math>x</math> שנמצאים בתחום ואינם מקיימים את אי-השוויון הם:
כלומר, בתוך התחום בו אנו עוסקים כעת, אנו יודעים '''בדיוק''' מתי מתקיים אי השיוויון ומתי אינו מתקיים. נמשיך אל התחומים הבאים:<math>1\le x<2</math>
*עבור <math>1\leq x < 2</math> '''או''' <math>x\leq -1</math> אי השיוויון נראה כך:
נסיים במקרה הנותר:
*עבור <math>-1<x<1</math> אי-השוויון נראה כך::<math>\begin{align}-x^2-+1-(x-+2)>4x+5\\x^2+5x+2<0\end{align}</math>
::<math>x^2-5x-4>0</math>
ערכי <math>x</math> אשר '''גם''' נמצאים בתחום ו'''גם''' מקיימים את אי-השוויון הם:
מסתבר שערכי x ש'''גם''' נמצאים בתחום אותו אנו בודקים ו'''גם''' מקיימים את אי השיוויון הם:<math>-1<x<\dfrac{\sqrt{17}-5}{2}</math>
::ואילו ערכי <math>x\leq -1</math>בתחום שאינם מקיימים את אי-השוויון הנם:
:<math>\dfrac{\sqrt{17}-5}{2}\le x<1</math>
ואילו ===סיכום התוצאות===אי-השוויון מתקיים עבור ערכי <math>x שנמצאים בתחום ואינם מקיימים את אי השיוויון הם</math> הבאים:
::*<math>1\leq begin{align}x &>\dfrac{3+\sqrt{41}}{2}\\x&< \dfrac{\sqrt{17}-5}{2}\end{align}</math>
