הבדלים בין גרסאות בדף "מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/1/פתרון דוגמא 1"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(סיכום התוצאות)
 
שורה 2: שורה 2:
  
  
'''דוגמא''':  
+
;דוגמא.
 +
מצא עבור אילו ערכי <math>x</math> מתקיים אי-השוויון הבא:
 +
*<math>|x^2-1|+|x-2|>4x+5</math>
  
מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא:
+
;פתרון.
 
+
על-מנת לפתור את אי-השוויון נחלק את האפשרויות של המשתנה <math>x</math> למקרים שונים בהם אנחנו יודעים עבור כל אחד מהביטויים בתוך ערך מוחלט אם הוא חיובי או שלילי.
*<math>|x^2-1| + |x-2|>4x+5</math>
+
 
+
 
+
'''פתרון''':
+
 
+
על מנת לפתור את אי השיוויון נחלק את האפשרויות של המשתנה x למקרים שונים בהם אנחנו יודעים עבור כל אחד מהביטויים בתוך ערך מוחלט אם הוא חיובי או שלילי.
+
  
 
בכל אחד מהמקרים שנקבל, נוכל לדעת האם אפשר להסיר את הערך המוחלט או להחליף אותו בסימן מינוס.
 
בכל אחד מהמקרים שנקבל, נוכל לדעת האם אפשר להסיר את הערך המוחלט או להחליף אותו בסימן מינוס.
 
  
 
===חלוקה למקרים===
 
===חלוקה למקרים===
 
ראשית, נבדוק עבור כל אחד מהביטויים מתחת לערך המוחלט, בנפרד, מתי הם שליליים ומתי הם חיוביים:
 
ראשית, נבדוק עבור כל אחד מהביטויים מתחת לערך המוחלט, בנפרד, מתי הם שליליים ומתי הם חיוביים:
  
 
+
*<math>x^2-1\ge0</math>  
*<math>x^2-1\geq 0</math>  
+
  
 
אם ורק אם:
 
אם ורק אם:
  
<math>x\geq 1</math> '''או''' <math>x \leq -1</math>
+
<math>x\ge1</math> '''או''' <math>x\le-1</math>
  
  
*<math>x-2\geq 0</math>
+
*<math>x-2\ge0</math>
  
 
אם ורק אם:
 
אם ורק אם:
  
<math>x\geq 2</math>
+
<math>x\ge2</math>
 
+
  
  
  
 
ביחד אנו מקבלים את המקרים הבאים:
 
ביחד אנו מקבלים את המקרים הבאים:
 +
*עבור <math>x\ge2</math>
  
*עבור <math>x\geq 2</math>  
+
מתקיים <math>x^2-1\ge0</math> '''וגם''' <math>x-2\ge0</math>
  
  
מתקיים <math>x^2-1\geq 0</math> '''וגם''' <math>x-2\geq 0</math>
+
*עבור <math>1\le x<2</math> '''או''' <math>x\le-1</math>
 
+
 
+
 
+
 
+
*עבור <math>1\leq x < 2</math> '''או''' <math>x\leq -1</math>
+
 
+
 
+
מתקיים <math>x^2-1\geq 0</math> '''וגם''' <math>x-2< 0</math>
+
  
 +
מתקיים <math>x^2-1\ge0</math> '''וגם''' <math>x-2<0</math>
  
  
שורה 56: שורה 43:
 
*עבור <math>-1<x<1</math>
 
*עבור <math>-1<x<1</math>
  
 +
מתקיים <math>x^2-1<0</math> '''וגם''' <math>x-2<0</math>
  
מתקיים <math>x^2-1< 0</math> '''וגם''' <math>x-2< 0</math>
+
===פתרון אי-השוויון בכל אחד מן המקרים===
 +
נבדוק עבור אילו ערכי <math>x</math> מתוך כל אחד מהמקרים לעיל מתקיים אי-השוויון.
  
 +
*עבור <math>x\ge2</math> אי-השוויון נראה כך:
 +
:<math>\begin{align}x^2-1+x-2>4x+5\\x^2-3x-8>0\end{align}</math>
  
  
===פתרון אי השיוויון בכל אחד מן המקרים===
+
נמצא מהם ערכי <math>x</math> ש'''גם''' נמצאים בתחום אותו אנו בודקים ו'''גם''' מקיימים את אי-השוויון:
נבדוק עבור אילו ערכי x מתוך כל אחד מהמקרים לעיל מתקיים אי השיוויון.
+
  
 +
:<math>\begin{cases}x\ge2\\x^2-3x-8>0\end{cases}</math>
  
*עבור <math>x\geq 2</math> אי השיוויון נראה כך:
 
  
 +
ערכי <math>x</math> אשר מקיימים את שתי אי-השוויונות לעיל הם
  
::<math>x^2-1+x-2>4x+5</math>
+
:<math>x>\dfrac{3+\sqrt{41}}{2}</math>  
  
::<math>x^2-3x-8>0</math>
 
  
  
נמצא מהם ערכי x ש'''גם''' נמצאים בתחום אותו אנו בודקים ו'''גם''' מקיימים את אי השיוויון:
+
לכן ערכי <math>x</math> אשר '''גם''' נמצאים בתחום ו'''גם אינם''' מקיימים את אי-השוויון הם
  
 +
:<math>2\le x\le\dfrac{3+\sqrt{41}}{2}</math>
  
::<math>\begin{cases}x\geq 2 \\ x^2-3x-8>0\end{cases}</math>
 
  
  
ערכי x אשר מתקיים את שתי אי השיוויונים לעיל הם
+
כלומר, בתוך התחום בו אנו עוסקים כעת, אנו יודעים '''בדיוק''' מתי מתקיים אי-השוויון ומתי אינו מתקיים. נמשיך אל התחומים הבאים:
  
::<math>x> \frac{3+\sqrt{41}}{2}</math>  
+
*עבור <math>1\le x<2</math> '''או''' <math>x\le-1</math> אי-השוויון נראה כך:
 +
:<math>\begin{align}x^2-1-(x-2)>4x+5\\x^2-5x-4>0\end{align}</math>
  
  
 +
מסתבר שערכי <math>x</math> ש'''גם''' נמצאים בתחום אותו אנו בודקים ו'''גם''' מקיימים את אי-השוויון הם:
  
לכן ערכי x אשר '''גם''' נמצאים בתחום ו'''גם אינם''' מקיימים את אי השיוויון הם
+
:<math>x\le-1</math>
  
::<math>2\leq x \leq \frac{3+\sqrt{41}}{2} </math>
+
ואילו ערכי <math>x</math> שנמצאים בתחום ואינם מקיימים את אי-השוויון הם:
  
 
+
:<math>1\le x<2</math>
 
+
 
+
 
+
כלומר, בתוך התחום בו אנו עוסקים כעת, אנו יודעים '''בדיוק''' מתי מתקיים אי השיוויון ומתי אינו מתקיים. נמשיך אל התחומים הבאים:
+
 
+
 
+
*עבור <math>1\leq x < 2</math> '''או''' <math>x\leq -1</math>  אי השיוויון נראה כך:
+
 
+
 
+
::<math>x^2-1-(x-2)>4x+5</math>
+
 
+
::<math>x^2-5x-4>0</math>
+
 
+
 
+
מסתבר שערכי x ש'''גם''' נמצאים בתחום אותו אנו בודקים ו'''גם''' מקיימים את אי השיוויון הם:
+
 
+
::<math>x\leq -1</math>
+
 
+
 
+
ואילו ערכי x שנמצאים בתחום ואינם מקיימים את אי השיוויון הם:
+
 
+
::<math>1\leq x < 2</math>
+
  
  
שורה 117: שורה 87:
 
נסיים במקרה הנותר:
 
נסיים במקרה הנותר:
  
 +
*עבור <math>-1<x<1</math> אי-השוויון נראה כך:
 +
:<math>\begin{align}-x^2+1-x+2>4x+5\\x^2+5x+2<0\end{align}</math>
  
*עבור <math>-1<x<1</math> אי השיוויון נראה כך:
 
  
 +
ערכי <math>x</math> אשר '''גם''' נמצאים בתחום ו'''גם''' מקיימים את אי-השוויון הם:
  
::<math>-x^2+1-x+2>4x+5</math>
+
:<math>-1<x<\dfrac{\sqrt{17}-5}{2}</math>
  
::<math>-x^2-5x-2 > 0</math>
+
ואילו ערכי <math>x</math> בתחום שאינם מקיימים את אי-השוויון הנם:
  
 
+
:<math>\dfrac{\sqrt{17}-5}{2}\le x<1</math>
ערכי x אשר '''גם''' נמצאים בתחום ו'''גם''' מקיימים את אי השיוויון הם:
+
 
+
::<math>-1<x<\frac{5-\sqrt{17}}{-2}</math>
+
 
+
 
+
ואילו ערכי x בתחום שאינם מקיימים את אי השיוויון הינם:
+
 
+
::<math>\frac{5-\sqrt{17}}{-2}\leq x<1</math>
+
  
 
===סיכום התוצאות===
 
===סיכום התוצאות===
 +
אי-השוויון מתקיים עבור ערכי <math>x</math> הבאים:
  
אי השיוויון מתקים עבור ערכי x הבאים:
+
*<math>\begin{align}x&>\dfrac{3+\sqrt{41}}{2}\\x&<\dfrac{\sqrt{17}-5}{2}\end{align}</math>
 
+
 
+
 
+
* <math>x> \frac{3+\sqrt{41}}{2}</math>
+
 
+
 
+
 
+
* <math>x<\frac{5-\sqrt{17}}{-2}</math>
+

גרסה אחרונה מ־17:55, 16 בפברואר 2017

חזרה לתרגיל


דוגמא.

מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי-השוויון הבא:

  • |x^2-1|+|x-2|>4x+5
פתרון.

על-מנת לפתור את אי-השוויון נחלק את האפשרויות של המשתנה x למקרים שונים בהם אנחנו יודעים עבור כל אחד מהביטויים בתוך ערך מוחלט אם הוא חיובי או שלילי.

בכל אחד מהמקרים שנקבל, נוכל לדעת האם אפשר להסיר את הערך המוחלט או להחליף אותו בסימן מינוס.

חלוקה למקרים

ראשית, נבדוק עבור כל אחד מהביטויים מתחת לערך המוחלט, בנפרד, מתי הם שליליים ומתי הם חיוביים:

  • x^2-1\ge0

אם ורק אם:

x\ge1 או x\le-1


  • x-2\ge0

אם ורק אם:

x\ge2


ביחד אנו מקבלים את המקרים הבאים:

  • עבור x\ge2

מתקיים x^2-1\ge0 וגם x-2\ge0


  • עבור 1\le x<2 או x\le-1

מתקיים x^2-1\ge0 וגם x-2<0


  • עבור -1<x<1

מתקיים x^2-1<0 וגם x-2<0

פתרון אי-השוויון בכל אחד מן המקרים

נבדוק עבור אילו ערכי x מתוך כל אחד מהמקרים לעיל מתקיים אי-השוויון.

  • עבור x\ge2 אי-השוויון נראה כך:
\begin{align}x^2-1+x-2>4x+5\\x^2-3x-8>0\end{align}


נמצא מהם ערכי x שגם נמצאים בתחום אותו אנו בודקים וגם מקיימים את אי-השוויון:

\begin{cases}x\ge2\\x^2-3x-8>0\end{cases}


ערכי x אשר מקיימים את שתי אי-השוויונות לעיל הם

x>\dfrac{3+\sqrt{41}}{2}


לכן ערכי x אשר גם נמצאים בתחום וגם אינם מקיימים את אי-השוויון הם

2\le x\le\dfrac{3+\sqrt{41}}{2}


כלומר, בתוך התחום בו אנו עוסקים כעת, אנו יודעים בדיוק מתי מתקיים אי-השוויון ומתי אינו מתקיים. נמשיך אל התחומים הבאים:

  • עבור 1\le x<2 או x\le-1 אי-השוויון נראה כך:
\begin{align}x^2-1-(x-2)>4x+5\\x^2-5x-4>0\end{align}


מסתבר שערכי x שגם נמצאים בתחום אותו אנו בודקים וגם מקיימים את אי-השוויון הם:

x\le-1

ואילו ערכי x שנמצאים בתחום ואינם מקיימים את אי-השוויון הם:

1\le x<2


נסיים במקרה הנותר:

  • עבור -1<x<1 אי-השוויון נראה כך:
\begin{align}-x^2+1-x+2>4x+5\\x^2+5x+2<0\end{align}


ערכי x אשר גם נמצאים בתחום וגם מקיימים את אי-השוויון הם:

-1<x<\dfrac{\sqrt{17}-5}{2}

ואילו ערכי x בתחום שאינם מקיימים את אי-השוויון הנם:

\dfrac{\sqrt{17}-5}{2}\le x<1

סיכום התוצאות

אי-השוויון מתקיים עבור ערכי x הבאים:

  • \begin{align}x&>\dfrac{3+\sqrt{41}}{2}\\x&<\dfrac{\sqrt{17}-5}{2}\end{align}