הבדלים בין גרסאות בדף "מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/1/פתרון 1"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
שורה 34: שורה 34:
 
<math>x^2-1</math> : מתאפס ב<math>x= \pm 1</math>. הביטוי שלילי ביניהם וחיובי ב<math>x<-1</math> או <math>x>1</math>
 
<math>x^2-1</math> : מתאפס ב<math>x= \pm 1</math>. הביטוי שלילי ביניהם וחיובי ב<math>x<-1</math> או <math>x>1</math>
  
 +
<math>x^2</math> : מתאפס ב0 וחיובי אחרת.
 +
 +
קיבלנו מספר תחומים. נבדוק את סימן הביטוי בכל תחום לפי מכפלת הסימנים של הביטויים הקטנים:
 +
 +
<math>x<-1</math> : הביטוי הראשון חיובי, השני חיובי והשלישי חיובי. לכן המכפלה גם חיובית
 +
 +
<math>-1<x<0</math> : הביטוי הראשון חיובי, השני שלילי והשלישי חיובי. לכן המכפלה שלילית
 +
 +
<math>0<x<1</math> : הביטוי הראשון חיובי, השני שלילי והשלישי חיובי. לכן המכפלה שלילית
 +
 +
<math>1<x</math> : הביטוי הראשון חיובי, השני חיובי והשלישי חיובי. לכן המכפלה חיובית
 +
 +
בנקודות <math>x=0 , pm 1</math> הביטוי מתאפס לכן גם נקודות אלה הן פתרונות לאי השוויון.
 +
 +
פתרון: <math>-1 \leq x \leq 1</math>
  
  

גרסה מ־09:48, 8 באוגוסט 2012

1

  • x^2+2x+1\leq 0

נבדוק מתי הביטוי באגף שמאל מתאפס: x^2+2x+1 = 0.

לפי נוסחה נקבל פתרון יחיד x=-1.

המקדם של x^2 חיובי (1) לכן הביטוי מתאפס ב-1 וחיובי מימינו ומשמאלו (ולכן אינו שלילי לאף x).

פתרון: x=-1


  • (1-x)(x+6)> 0

נבדוק מתי מתאפס. הביטוי הוא מכפלה של שני ביטויים ולכן הוא מתאפס כאשר כל אחד מהם מתאפס. לכן אגף שמאל מתאפס בx=1 ובx=-6.

אם נפתח סוגריים נקבל -x^2-5x+6 והמקדם של x^2 שלילי לכן הביטוי מקבל ערכים שליליים כשx<-6 וx>1 וערכים חיוביים כש-6<x<1

פתרון: -6<x<1


  • -3x^2 +6x - 1 \geq 0

מתי הביטוי מתאפס: -3x^2+6x-1=0? לפי נוסחה נקבל x={-6 \pm \sqrt{36-12} \over -6}=1 \pm {\sqrt{6} \over 3}

המקדם של x^2 שלילי לכן הערכים החיוביים מתקבלים בין הפתרונות שמצאנו.

פתרון: 1 - {\sqrt{6} \over 3} \leq x \leq 1 + {\sqrt{6} \over 3}


  • (x^2+1)(x^2-1)x^2 \leq 0

נפרק לשלושה ביטויים: x^2+1 , x^2-1 , x^2 , ונבדוק מתי כל אחד מהם חיובי ושלילי.

x^2+1 : ריבוע של מספר הוא תמיד אי-שלילי, ולכן בתוספת 1 הוא תמיד חיובי (למשוואה x^2=-1 אין פתרון ממשי)

x^2-1 : מתאפס בx= \pm 1. הביטוי שלילי ביניהם וחיובי בx<-1 או x>1

x^2 : מתאפס ב0 וחיובי אחרת.

קיבלנו מספר תחומים. נבדוק את סימן הביטוי בכל תחום לפי מכפלת הסימנים של הביטויים הקטנים:

x<-1 : הביטוי הראשון חיובי, השני חיובי והשלישי חיובי. לכן המכפלה גם חיובית

-1<x<0 : הביטוי הראשון חיובי, השני שלילי והשלישי חיובי. לכן המכפלה שלילית

0<x<1 : הביטוי הראשון חיובי, השני שלילי והשלישי חיובי. לכן המכפלה שלילית

1<x : הביטוי הראשון חיובי, השני חיובי והשלישי חיובי. לכן המכפלה חיובית

בנקודות x=0 , pm 1 הביטוי מתאפס לכן גם נקודות אלה הן פתרונות לאי השוויון.

פתרון: -1 \leq x \leq 1



  • (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)\cdots (x-n)>0

כאשר n\in\mathbb{N}. שימו לב, רצוי לחלק למקרים אפשריים של n.


  • |x|\leq 7


  • |2x-1|<7


  • (x-1)|x-1| > 1


  • \frac{|x|}{x} > 1


  • |x-1|>|x^2-1|


  • |x^2-4x-3| + |x-1| + |x-2| > 2x