הבדלים בין גרסאות בדף "מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/1/פתרון 1"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
שורה 46: שורה 46:
 
<math>1<x</math> : הביטוי הראשון חיובי, השני חיובי והשלישי חיובי. לכן המכפלה חיובית
 
<math>1<x</math> : הביטוי הראשון חיובי, השני חיובי והשלישי חיובי. לכן המכפלה חיובית
  
בנקודות <math>x=0 , pm 1</math> הביטוי מתאפס לכן גם נקודות אלה הן פתרונות לאי השוויון.
+
בנקודות <math>x=0 , \pm 1</math> הביטוי מתאפס לכן גם נקודות אלה הן פתרונות לאי השוויון.
  
 
פתרון: <math>-1 \leq x \leq 1</math>
 
פתרון: <math>-1 \leq x \leq 1</math>
 
 
 
  
  
שורה 59: שורה 56:
  
 
*<math>|x|\leq 7</math>
 
*<math>|x|\leq 7</math>
 +
נחלק למקרים: אם <math>x \ geq 0</math> נקבל את אי השוויון <math>|x|\leq 7</math> ולכן סה"כ הפתרונות של מקרה זה הם <math>0 \leq x \leq 7</math>
 +
 +
אם <math>x<0</math> נקבל <math>-x \le 7</math> , לכן <math>x \geq -7</math> וסה"כ הפתרונות הם <math>-7 \leq x < 0</math>
 +
 +
נאחד את הפתרונות של שני המקרים ונקבל את הפתרון
 +
 +
פתרון: <math>-7 \leq x \leq 7</math>
  
  
 
*<math>|2x-1|<7</math>
 
*<math>|2x-1|<7</math>
 +
נחלק למקרים. הביטוי הערך המוחלט מתאפס ב<math>1 /over 2</math> לכן נתבונן במקרים:
 +
 +
<math>x \geq {1 \over 2}</math> : אי השוויון הוא <math>2x-1<7</math> לכן <math>2x<8</math> ו<math>x<4</math>. התשובה היא <math>{1 \over 2} \leq x < 4</math>
 +
 +
<math>x < {1 \over 2}</math> : אי השוויון הוא <math>-2x+1<7</math> לכן <math>-2x<6</math> לכן <math>x>-3</math>. התשובה היא <math>-3 <x < {1 \over 2}</math>. נאחד את הפתרונות ונקבל:
 +
 +
פתרון: <math>-3 < x < 4</math>
  
  
 
*<math>(x-1)|x-1| > 1</math>
 
*<math>(x-1)|x-1| > 1</math>
 +
נחלק למקרים:
 +
 +
<math>x>1</math> : אי השוויון הוא <math>(x-1)(x-1) > 1</math>. נפשט ונקבל <math>x^2-2x > 0</math>. ביטוי זה חיובי עבור <math>x<0</math> או <math>x > 2</math> (בדקו!). לכן הפתרון הוא <math>x>2</math>
 +
 +
<math>x<1</math> : אי השוויון הוא <math>-(x-1)(x-1)>1</math>. נפשט ונקבל <math>-x^2 +2x -2 > 0</math> ביטוי זה אף פעם לא חיובי (בדקו!), לכן במקרה זה אין פתרון.
 +
 +
פתרון: <math>x>2</math>
  
  

גרסה מ־10:03, 8 באוגוסט 2012

1

  • x^2+2x+1\leq 0

נבדוק מתי הביטוי באגף שמאל מתאפס: x^2+2x+1 = 0.

לפי נוסחה נקבל פתרון יחיד x=-1.

המקדם של x^2 חיובי (1) לכן הביטוי מתאפס ב-1 וחיובי מימינו ומשמאלו (ולכן אינו שלילי לאף x).

פתרון: x=-1


  • (1-x)(x+6)> 0

נבדוק מתי מתאפס. הביטוי הוא מכפלה של שני ביטויים ולכן הוא מתאפס כאשר כל אחד מהם מתאפס. לכן אגף שמאל מתאפס בx=1 ובx=-6.

אם נפתח סוגריים נקבל -x^2-5x+6 והמקדם של x^2 שלילי לכן הביטוי מקבל ערכים שליליים כשx<-6 וx>1 וערכים חיוביים כש-6<x<1

פתרון: -6<x<1


  • -3x^2 +6x - 1 \geq 0

מתי הביטוי מתאפס: -3x^2+6x-1=0? לפי נוסחה נקבל x={-6 \pm \sqrt{36-12} \over -6}=1 \pm {\sqrt{6} \over 3}

המקדם של x^2 שלילי לכן הערכים החיוביים מתקבלים בין הפתרונות שמצאנו.

פתרון: 1 - {\sqrt{6} \over 3} \leq x \leq 1 + {\sqrt{6} \over 3}


  • (x^2+1)(x^2-1)x^2 \leq 0

נפרק לשלושה ביטויים: x^2+1 , x^2-1 , x^2 , ונבדוק מתי כל אחד מהם חיובי ושלילי.

x^2+1 : ריבוע של מספר הוא תמיד אי-שלילי, ולכן בתוספת 1 הוא תמיד חיובי (למשוואה x^2=-1 אין פתרון ממשי)

x^2-1 : מתאפס בx= \pm 1. הביטוי שלילי ביניהם וחיובי בx<-1 או x>1

x^2 : מתאפס ב0 וחיובי אחרת.

קיבלנו מספר תחומים. נבדוק את סימן הביטוי בכל תחום לפי מכפלת הסימנים של הביטויים הקטנים:

x<-1 : הביטוי הראשון חיובי, השני חיובי והשלישי חיובי. לכן המכפלה גם חיובית

-1<x<0 : הביטוי הראשון חיובי, השני שלילי והשלישי חיובי. לכן המכפלה שלילית

0<x<1 : הביטוי הראשון חיובי, השני שלילי והשלישי חיובי. לכן המכפלה שלילית

1<x : הביטוי הראשון חיובי, השני חיובי והשלישי חיובי. לכן המכפלה חיובית

בנקודות x=0 , \pm 1 הביטוי מתאפס לכן גם נקודות אלה הן פתרונות לאי השוויון.

פתרון: -1 \leq x \leq 1


  • (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)\cdots (x-n)>0

כאשר n\in\mathbb{N}. שימו לב, רצוי לחלק למקרים אפשריים של n.


  • |x|\leq 7

נחלק למקרים: אם x \ geq 0 נקבל את אי השוויון |x|\leq 7 ולכן סה"כ הפתרונות של מקרה זה הם 0 \leq x \leq 7

אם x<0 נקבל -x \le 7 , לכן x \geq -7 וסה"כ הפתרונות הם -7 \leq x < 0

נאחד את הפתרונות של שני המקרים ונקבל את הפתרון

פתרון: -7 \leq x \leq 7


  • |2x-1|<7

נחלק למקרים. הביטוי הערך המוחלט מתאפס ב1 /over 2 לכן נתבונן במקרים:

x \geq {1 \over 2} : אי השוויון הוא 2x-1<7 לכן 2x<8 וx<4. התשובה היא {1 \over 2} \leq x < 4

x < {1 \over 2} : אי השוויון הוא -2x+1<7 לכן -2x<6 לכן x>-3. התשובה היא -3 <x < {1 \over 2}. נאחד את הפתרונות ונקבל:

פתרון: -3 < x < 4


  • (x-1)|x-1| > 1

נחלק למקרים:

x>1 : אי השוויון הוא (x-1)(x-1) > 1. נפשט ונקבל x^2-2x > 0. ביטוי זה חיובי עבור x<0 או x > 2 (בדקו!). לכן הפתרון הוא x>2

x<1 : אי השוויון הוא -(x-1)(x-1)>1. נפשט ונקבל -x^2 +2x -2 > 0 ביטוי זה אף פעם לא חיובי (בדקו!), לכן במקרה זה אין פתרון.

פתרון: x>2


  • \frac{|x|}{x} > 1


  • |x-1|>|x^2-1|


  • |x^2-4x-3| + |x-1| + |x-2| > 2x