הבדלים בין גרסאות בדף "מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/1/פתרון 1"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(1)
 
(13 גרסאות ביניים של 3 משתמשים אינן מוצגות)
שורה 1: שורה 1:
 
==1==
 
==1==
*<math>x^2+2x+1\leq 0</math>
+
*<math>x^2+2x+1\le0</math>
נבדוק מתי הביטוי באגף שמאל מתאפס: <math>x^2+2x+1 = 0</math>.
+
נבדוק מתי הביטוי באגף שמאל מתאפס.
  
לפי נוסחה נקבל פתרון יחיד <math>x=-1</math>.
+
לפי נוסחא נקבל פתרון יחיד <math>x=-1</math> .
  
המקדם של <math>x^2</math> חיובי (1) לכן הביטוי מתאפס ב<math>-1</math> וחיובי מימינו ומשמאלו (ולכן אינו שלילי לאף x).
+
המקדם של <math>x^2</math> חיובי (1) לכן הביטוי מתאפס ב- <math>x=-1</math> וחיובי מימינו ומשמאלו (ולכן אינו שלילי לאף <math>x</math>).
  
 
פתרון: <math>x=-1</math>
 
פתרון: <math>x=-1</math>
  
  
*<math>(1-x)(x+6)> 0</math>
+
*<math>(1-x)(x+6)>0</math>
נבדוק מתי מתאפס. הביטוי הוא מכפלה של שני ביטויים ולכן הוא מתאפס כאשר כל אחד מהם מתאפס. לכן אגף שמאל מתאפס ב<math>x=1</math> וב<math>x=-6</math>.
+
נבדוק מתי מתאפס. הביטוי הוא מכפלה של שני ביטויים ולכן הוא מתאפס כאשר כל אחד מהם מתאפס. לכן אגף שמאל מתאפס ב- <math>x=1,-6</math> .
  
אם נפתח סוגריים נקבל <math>-x^2-5x+6</math> והמקדם של <math>x^2</math> שלילי לכן הביטוי מקבל ערכים שליליים כש<math>x<-6</math> ו<math>x>1</math>
+
אם נפתח סוגריים נקבל <math>-x^2-5x+6</math> והמקדם של <math>x^2</math> שלילי לכן הביטוי מקבל ערכים שליליים כאשר <math>x<-6</math> או <math>x>1</math> ,
וערכים חיוביים כש<math>-6<x<1</math>
+
וערכים חיוביים כאשר <math>-6<x<1</math> .
  
 
פתרון: <math>-6<x<1</math>
 
פתרון: <math>-6<x<1</math>
  
  
*<math>-3x^2 +6x - 1 \geq 0 </math>
+
*<math>-3x^2+6x-1\ge0</math>
מתי הביטוי מתאפס: <math>-3x^2+6x-1=0</math>? לפי נוסחה נקבל <math>x={-6 \pm \sqrt{36-12} \over -6}=1 \pm {\sqrt{6} \over 3}</math>
+
נבדוק מתי מתאפס. לפי נוסחא נקבל <math>x=\dfrac{-6\pm\sqrt{36-12}}{-6}=1\pm\dfrac{\sqrt6}{3}</math>
  
 
המקדם של <math>x^2</math> שלילי לכן הערכים החיוביים מתקבלים בין הפתרונות שמצאנו.
 
המקדם של <math>x^2</math> שלילי לכן הערכים החיוביים מתקבלים בין הפתרונות שמצאנו.
  
פתרון: <math>1 - {\sqrt{6} \over 3} \leq x \leq 1 + {\sqrt{6} \over 3}</math>
+
פתרון: <math>1-\dfrac{\sqrt6}{3}\le x\le1+\dfrac{\sqrt6}{3}</math>
  
  
*<math>(x^2+1)(x^2-1)x^2 \leq 0</math>
+
*<math>x^2(x^2-1)(x^2+1)\le0</math>
נפרק לשלושה ביטויים: <math>x^2+1</math> , <math>x^2-1</math> , <math>x^2</math> , ונבדוק מתי כל אחד מהם חיובי ושלילי.
+
נפרק לשלושה ביטויים: <math>x^2,x^2+1,x^2-1</math> ונבדוק מתי כל אחד מהם חיובי ושלילי.
  
 
<math>x^2+1</math> : ריבוע של מספר הוא תמיד אי-שלילי, ולכן בתוספת 1 הוא תמיד חיובי (למשוואה <math>x^2=-1</math> אין פתרון ממשי)
 
<math>x^2+1</math> : ריבוע של מספר הוא תמיד אי-שלילי, ולכן בתוספת 1 הוא תמיד חיובי (למשוואה <math>x^2=-1</math> אין פתרון ממשי)
  
<math>x^2-1</math> : מתאפס ב<math>x= \pm 1</math>. הביטוי שלילי ביניהם וחיובי ב<math>x<-1</math> או <math>x>1</math>
+
<math>x^2-1</math> : מתאפס ב- <math>x=\pm1</math> . הביטוי שלילי ביניהם וחיובי כאשר <math>x<-1</math> או <math>x>1</math>
  
<math>x^2</math> : מתאפס ב0 וחיובי אחרת.
+
<math>x^2</math> : מתאפס ב-0 וחיובי אחרת.
  
 
קיבלנו מספר תחומים. נבדוק את סימן הביטוי בכל תחום לפי מכפלת הסימנים של הביטויים הקטנים:
 
קיבלנו מספר תחומים. נבדוק את סימן הביטוי בכל תחום לפי מכפלת הסימנים של הביטויים הקטנים:
שורה 46: שורה 46:
 
<math>1<x</math> : הביטוי הראשון חיובי, השני חיובי והשלישי חיובי. לכן המכפלה חיובית
 
<math>1<x</math> : הביטוי הראשון חיובי, השני חיובי והשלישי חיובי. לכן המכפלה חיובית
  
בנקודות <math>x=0 , \pm 1</math> הביטוי מתאפס לכן גם נקודות אלה הן פתרונות לאי השוויון.
+
בנקודות <math>x=0,\pm1</math> הביטוי מתאפס לכן גם נקודות אלה הן פתרונות לאי-השוויון.
  
פתרון: <math>-1 \leq x \leq 1</math>
+
פתרון: <math>-1\le x\le1</math>
  
  
*<math>(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)\cdots (x-n)>0</math>  
+
*<math>(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)\cdots(x-n)>0</math>  
כאשר <math>n\in\mathbb{N}</math>. שימו לב, רצוי לחלק למקרים אפשריים של n.
+
כאשר <math>n\in\N</math> . שימו לב, רצוי לחלק למקרים אפשריים של <math>n</math> .
  
השאלה היא מתי מכפלה של n גורמים היא חיובית. התשובה היא כאשר מספר הגורמים השליליים הוא זוגי. כאשר x מספר שלם בין 1 לn, הביטוי מתאפס ולכן זה לא פיתרון.
+
השאלה היא מתי מכפלה של <math>n</math> גורמים היא חיובית. התשובה היא כאשר מספר הגורמים השליליים הוא זוגי. כאשר <math>x</math> מספר שלם בין 1 ל-<math>n</math> , הביטוי מתאפס ולכן זה איננו פתרון.
  
לכן אנחנו מתעניינים בתחומים <math>x < 1 , 1<x<2 , ... , n<x</math>. בתחום האחרון, <math>n<x</math> , כל הגורמים חיוביים ולכן תחום זה הוא תמיד פתרון. נחלק למקרים:
+
לכן אנחנו מתעניינים בתחומים <math>x<1,1<x<2,\ldots,n<x</math> . בתחום האחרון <math>n<x</math> כל הגורמים חיוביים ולכן תחום זה הוא תמיד פתרון. נחלק למקרים:
  
n זוגי: אם x קטן מ1, כל הגורמים שליליים ולכן המכפלה כולה חיובית (כי n זוגי) ולכן זה פתרון. נשארנו עם התחומים מהצורה <math>i<x<i+1</math> עבור i בין 1 לn-1. אם i זוגי אז יש עוד מספר זוגי של תחומים כאלה אחריו (כי n זוגי) ולכן המכפלה חיובית. אחרת, יש מספר אי זוגי של גורמים שליליים ולכן המכפלה שלילית.
+
<math>n</math> זוגי: אם <math>x<1</math> כל הגורמים שליליים ולכן המכפלה כולה חיובית (כי <math>n</math> זוגי) ולכן זה פתרון. נשארנו עם התחומים מהצורה <math>k<x<k+1</math> עבור <math>1\le k\le n-1</math> . אם <math>k</math> זוגי אז יש עוד מספר זוגי של תחומים כאלה אחריו (כי <math>n</math> זוגי) ולכן המכפלה חיובית. אחרת, יש מספר אי-זוגי של גורמים שליליים ולכן המכפלה שלילית.
  
לכן התשובה עבור n זוגי היא: <math>x<1 , 2<x<3 , 4<x<6 , ... , 2i < x < 2i+1 , ... , n-2 < x < n-1 , n<x</math>
+
לכן התשובה עבור <math>n</math> זוגי היא:
 +
:<math>x<1,2<x<3,4<x<6,\ldots,2k<x<2k+1,\ldots,n-2<x<n-1,n<x</math>
  
עבור n אי זוגי נפתור בצורה דומה ונקבל: <math>1<x<2 , 3<x<4 , ... < 2i-1<x<2i , ... , n-2 < x < n-1, n < x</math>
+
עבור <math>n</math> אי-זוגי נפתור בצורה דומה ונקבל:
 +
:<math>1<x<2,3<x<4,\ldots,2k-1<x<2k,\ldots,n-2<x<n-1,n<x</math>
  
  
 +
*<math>|x|\le7</math>
 +
נחלק למקרים: אם <math>x\ge0</math> נקבל את אי-השוויון <math>|x|\le7</math> ולכן סה"כ הפתרונות של מקרה זה הם <math>0\le x\le7</math>
  
 
+
אם <math>x<0</math> נקבל <math>x\ge-7</math> וסה"כ הפתרונות הם <math>-7\le x<0</math>
*<math>|x|\leq 7</math>
+
נחלק למקרים: אם <math>x \ geq 0</math> נקבל את אי השוויון <math>|x|\leq 7</math> ולכן סה"כ הפתרונות של מקרה זה הם <math>0 \leq x \leq 7</math>
+
 
+
אם <math>x<0</math> נקבל <math>-x \le 7</math> , לכן <math>x \geq -7</math> וסה"כ הפתרונות הם <math>-7 \leq x < 0</math>
+
  
 
נאחד את הפתרונות של שני המקרים ונקבל את הפתרון
 
נאחד את הפתרונות של שני המקרים ונקבל את הפתרון
 
+
:<math>-7\le x\le7</math>
פתרון: <math>-7 \leq x \leq 7</math>
+
  
  
 
*<math>|2x-1|<7</math>
 
*<math>|2x-1|<7</math>
נחלק למקרים. הביטוי הערך המוחלט מתאפס ב<math>1 /over 2</math> לכן נתבונן במקרים:
+
נחלק למקרים. הביטוי הערך המוחלט מתאפס ב- <math>x=\tfrac12</math> לכן נתבונן במקרים:
  
<math>x \geq {1 \over 2}</math> : אי השוויון הוא <math>2x-1<7</math> לכן <math>2x<8</math> ו<math>x<4</math>. התשובה היא <math>{1 \over 2} \leq x < 4</math>
+
<math>x\ge\tfrac12</math> : אי-השוויון הוא <math>2x-1<7</math> לכן <math>x<4</math> . התשובה היא <math>\tfrac12\le x<4</math>
  
<math>x < {1 \over 2}</math> : אי השוויון הוא <math>-2x+1<7</math> לכן <math>-2x<6</math> לכן <math>x>-3</math>. התשובה היא <math>-3 <x < {1 \over 2}</math>. נאחד את הפתרונות ונקבל:
+
<math>x<\tfrac12</math> : אי-השוויון הוא <math>-2x+1<7</math> לכן <math>x>-3</math> . התשובה היא <math>-3<x<\tfrac12</math> . נאחד את הפתרונות ונקבל:
  
פתרון: <math>-3 < x < 4</math>
+
פתרון: <math>-3<x<4</math>
  
  
*<math>(x-1)|x-1| > 1</math>
+
*<math>(x-1)|x-1|>1</math>
 
נחלק למקרים:
 
נחלק למקרים:
  
<math>x>1</math> : אי השוויון הוא <math>(x-1)(x-1) > 1</math>. נפשט ונקבל <math>x^2-2x > 0</math>. ביטוי זה חיובי עבור <math>x<0</math> או <math>x > 2</math> (בדקו!). לכן הפתרון הוא <math>x>2</math>
+
<math>x>1</math> : אי-השוויון הוא <math>(x-1)(x-1)>1</math> . נפשט ונקבל <math>x(x-2)>0</math> . ביטוי זה חיובי כאשר <math>x<0</math> או <math>x>2</math> (בדקו!). לכן הפתרון הוא <math>x>2</math>
  
<math>x<1</math> : אי השוויון הוא <math>-(x-1)(x-1)>1</math>. נפשט ונקבל <math>-x^2 +2x -2 > 0</math> ביטוי זה אף פעם לא חיובי (בדקו!), לכן במקרה זה אין פתרון.
+
<math>x<1</math> : אי-השוויון הוא <math>-(x-1)(x-1)>1</math> . נפשט ונקבל <math>(x-1)^2<-1</math> . הביטוי משמאל תמיד חיובי (בדקו!), לכן במקרה זה אין פתרון.
  
 
פתרון: <math>x>2</math>
 
פתרון: <math>x>2</math>
  
  
*<math>\frac{|x|}{x} > 1</math>
+
*<math>\frac{|x|}{x}>1</math>
נשים לב שלביטוי אין ערך ב<math>x=0</math>. אם <math>x>0</math> נקבל <math>{x\over x} > 1</math> וזה לא יתכן. אם <math>x<0</math> נקבל <math>{-x \over x} >1</math> וגם זה לא יתכן.
+
נשים לב שלביטוי אין ערך ב- <math>x=0</math> . אם <math>x>0</math> נקבל <math>\dfrac{x}{x}>1</math> וזה לא יתכן. אם <math>x<0</math> נקבל <math>\dfrac{-x}{x}>1</math> וגם זה לא יתכן.
  
פתרון: אף x לא מקיים את אי השוויון
+
פתרון: אף <math>x</math> לא מקיים את אי-השוויון
  
  
 
*<math>|x-1|>|x^2-1|</math>
 
*<math>|x-1|>|x^2-1|</math>
הביטוי בערך המוחלט הימני חיובי עבור <math>x<-1</math> או <math>x>1</math>.
+
הביטוי בערך המוחלט הימני חיובי עבור <math>x<-1</math> או <math>x>1</math> .
  
<math>x \leq -1</math> : נקבל אי שוויון <math>-(x-1) > x^2 - 1</math> . נפשט ונקבל <math>x^2 +x -2 < 0</math> והפתרון של זה הוא <math>-2 < x < 1</math> . סה"כ: <math>-2 < x \leq -1</math>
+
<math>x\le-1</math> : נקבל אי-שוויון <math>-(x-1)>x^2-1</math> . נפשט ונקבל <math>x^2+x-2<0</math> והפתרון של זה הוא <math>-2<x<1</math> . סה"כ: <math>-2<x\le-1</math>
  
<math>-1 < x \leq 1</math> : נקבל אי שוויון <math>-(x-1) > -(x^2-1)</math> ואחרי פישוט: <math>x^2 -x > 0</math> . הפתרון הוא <math>x<0</math> או <math>x > 1</math> לכן סה"כ: <math>-1 < x < 0</math> .
+
<math>-1<x\le1</math> : נקבל אי-שוויון <math>-(x-1)>-(x^2-1)</math> ואחרי פישוט: <math>x^2-x>0</math> . הפתרון הוא <math>x<0</math> או <math>x>1</math> לכן סה"כ: <math>-1<x<0</math> .
  
<math>x > 1</math> : נקבל <math>x-1 > x^2 - 1</math> . נפשט: <math>x^2 -x < 0</math> והפתרון הוא <math>0 < x < 1</math> . לכן במקרה זה אין פתרון.
+
<math>x>1</math> : נקבל <math>x-1>x^2-1</math> . נפשט ונקבל <math>x(x-1)<0</math> והפתרון הוא <math>0<x<1</math> . לכן במקרה זה אין פתרון.
  
פתרון: <math>-2 < x 0</math>
+
פתרון: <math>-2<x<0</math>
  
  
*<math>|x^2-4x-3| + |x-1| + |x-2| > 2x</math>
+
*<math>|x^2-4x-3|+|x-1|+|x-2|>2x</math>
הביטוי הריבועי מתאפס ב <math>2 \pm \sqrt{7}</math> . נחלק למקרים:
+
הביטוי הריבועי מתאפס ב- <math>x=2\pm\sqrt7</math> . נחלק למקרים:
  
<math>x \leq 2-\sqrt{7}</math> : <math>x < 0</math> או <math>x > 8</math> לכן סה"כ <math>x \leq 2 - \sqrt{7}</math>
+
<math>x\le2-\sqrt7</math> : <math>x<0</math> או <math>x>8</math> לכן סה"כ <math>x\le2-\sqrt7</math>
  
<math>2-\sqrt{7} < x \leq 1</math>: <math>-\sqrt{6} < x < \sqrt{6}</math> . לכן סה"כ: <math>2-\sqrt{7}<x\leq 1</math>
+
<math>2-\sqrt7<x\le1</math>: <math>-\sqrt6<x<\sqrt6</math> . לכן סה"כ: <math>2-\sqrt7<x\le1</math>
  
<math>1 < x \leq 2</math> : <math>1-\sqrt{5}<x<1+\sqrt{5}</math> . לכן סה"כ: <math>1 < x \leq 2</math>
+
<math>1<x\le2</math> : <math>1-\sqrt5<x<1+\sqrt5</math> . לכן סה"כ: <math>1<x\le2</math>
  
<math>2 < x \leq 2 + \sqrt{7}</math> : <math>0<x<4</math> . לכן סה"כ: <math>2 < x < 4</math>
+
<math>2<x\le2+\sqrt7</math> : <math>0<x<4</math> . לכן סה"כ: <math>2<x<4</math>
  
<math>x > 2+\sqrt{7}</math> : <math>x<2-\sqrt{10}</math> או <math>x>2+\sqrt{10}</math> . לכן סה"כ: <math>x>2+\sqrt{10}</math>
+
<math>x>2+\sqrt7</math> : <math>x<2-\sqrt{10}</math> או <math>x>2+\sqrt{10}</math> . לכן סה"כ: <math>x>2+\sqrt{10}</math>
  
 
פתרון: <math>x<4</math> או <math>x>2+\sqrt{10}</math>
 
פתרון: <math>x<4</math> או <math>x>2+\sqrt{10}</math>
 +
 +
==2==
 +
נגדיר שתי פונקציות
 +
:<math>\begin{align}
 +
f(x)&=\begin{cases}x^2&x>0\\0&x=0\\-x^2&x<0\end{cases}\\\\g(x)&=\begin{cases}x-1&x>1\\|x|+x&x\le1\end{cases}
 +
\end{align}</math>
 +
 +
מצא עבור אילו ערכי <math>x</math> מתקיימים אי-השוויונות הבאים:
 +
*<math>g(x)\le0</math>
 +
 +
נפריד למקרים:
 +
 +
<math>x<0</math> : במקרה זה אי-השוויון הוא <math>-x + x\le0</math> והוא תמיד מתקיים
 +
 +
<math>0\le x\le1</math> : אי-השוויון הוא <math>x+x\le0</math> והוא מתקיים עבור <math>x\le0</math> לכן הפתרון הוא <math>x=0</math>
 +
 +
<math>x>1</math> : אי-השוויון הוא <math>x-1\le0</math> לכן הפתרון הוא <math>x\le1</math> ולכן אין פתרון
 +
 +
פתרון: <math>x\le0</math>
 +
 +
 +
*<math>f(x+1)>0</math>
 +
<math>f(x+1)=\begin{cases}(x+1)^2&x>-1\\0&x=-1\\-(x+1)^2&x<-1\end{cases}</math>
 +
 +
נפריד למקרים:
 +
 +
<math>x>-1</math> : אי-השוויון הוא <math>(x+1)^2>0</math> וריבוע של מספר הוא תמיד אי שלילי לכן זה מתקיים לכל <math>x>-1</math>
 +
 +
<math>x=-1</math> : ערך הפונקציה הוא 0 ולכן זה לא פתרון
 +
 +
<math>x<-1</math> : אי-השוויון הוא <math>-(x+1)^2>0</math> וזה לא מתקיים לאף ערך בתחום
 +
 +
פתרון: <math>x>-1</math>
 +
 +
 +
*<math>g\big(f(x)\big)\ge0</math>
 +
נשים לב שמתקיים: <math>g(x)\ge0</math> לכל <math>x</math> :
 +
 +
<math>x<0</math> : <math>g(x)=0</math>
 +
 +
<math>0\le x\le1</math> : <math>g(x)=2x\ge0</math>
 +
 +
<math>x>1</math> : <math>g(x)=x-1\ge0</math>
 +
 +
לכן גם מתקיים <math>g\big(f(x)\big)\ge0</math> לכל <math>x</math>
 +
 +
 +
*<math>f(x+1)+g(x-1)>x</math>
 +
 +
::<math>f(x+1)=\begin{cases}(x+1)^2&x>-1\\0&x=-1\\-(x+1)^2&x<-1\end{cases}</math>
 +
::<math>g(x-1)=\begin{cases}x-2&x>2\\2x-2&1\le x\le2\\0&x<1\end{cases}</math>
 +
 +
<math>x<-1</math> : <math>f(x+1)+g(x-1)=-(x+1)^2>x</math> . הפתרון הוא <math>-\dfrac{3+\sqrt5}{2}<x<-1</math>
 +
 +
<math>x=-1</math> : <math>f(x+1)+g(x-1)=0>-1</math> לכן זה פתרון.
 +
 +
<math>-1<x<1</math> : <math>f(x+1)+g(x-1)=(x+1)^2>x</math> . נכון לכל <math>x</math> .
 +
 +
<math>1\le x\le2</math> : <math>f(x+1)+g(x-1)=(x+1)^2+2x-2>x</math> . כל התחום הוא פתרון
 +
 +
<math>x>2</math> : <math>f(x+1)+g(x-1)=(x+1)^2+x-2>x</math> . גם כאן כל התחום הוא פתרון
 +
 +
פתרון: <math>x>-\dfrac{3+\sqrt5}{2}</math>
 +
 +
 +
*<math>|g(x^2)-f(x)|<x</math>
 +
::<math>g(x^2)=\begin{cases}x^2-1&x<-1\or1<x\\2x^2&-1\le x\le1\end{cases}</math>
 +
 +
<math>x<-1</math> : <math>|g(x^2)-f(x)|=|x^2-1+x^2|=|2x^2-1|<x</math> .
 +
 +
כיון שאנחנו בתחום <math>x<-1</math> נקבל שהביטוי תמיד חיובי ולכן ניתן להשמיט את הערך המוחלט ולקבל: <math>2x^2-1<x</math> .
 +
 +
לאי-שוויון זה אין פתרון בתחום <math>-1\le x<0</math> . נקבל <math>|2x^2+x^2|=|3x^2|=3x^2<x</math> ואין לזה פתרון בתחום <math>x=0</math> . נציב ונקבל שזה לא פתרון
 +
 +
<math>0<x\le1</math> : נקבל <math>|2x^2-x^2|=x^2<x</math> והפתרון הוא <math>0<x<1</math>
 +
 +
<math>x>1</math> : נקבל <math>|x^2-1-x^2|=1<x</math> והפתרון הוא כל התחום
 +
 +
 +
פתרון: <math>0<x<1</math> או <math>x>1</math>

גרסה אחרונה מ־18:46, 18 במאי 2017

1

  • x^2+2x+1\le0

נבדוק מתי הביטוי באגף שמאל מתאפס.

לפי נוסחא נקבל פתרון יחיד x=-1 .

המקדם של x^2 חיובי (1) לכן הביטוי מתאפס ב- x=-1 וחיובי מימינו ומשמאלו (ולכן אינו שלילי לאף x).

פתרון: x=-1


  • (1-x)(x+6)>0

נבדוק מתי מתאפס. הביטוי הוא מכפלה של שני ביטויים ולכן הוא מתאפס כאשר כל אחד מהם מתאפס. לכן אגף שמאל מתאפס ב- x=1,-6 .

אם נפתח סוגריים נקבל -x^2-5x+6 והמקדם של x^2 שלילי לכן הביטוי מקבל ערכים שליליים כאשר x<-6 או x>1 , וערכים חיוביים כאשר -6<x<1 .

פתרון: -6<x<1


  • -3x^2+6x-1\ge0

נבדוק מתי מתאפס. לפי נוסחא נקבל x=\dfrac{-6\pm\sqrt{36-12}}{-6}=1\pm\dfrac{\sqrt6}{3}

המקדם של x^2 שלילי לכן הערכים החיוביים מתקבלים בין הפתרונות שמצאנו.

פתרון: 1-\dfrac{\sqrt6}{3}\le x\le1+\dfrac{\sqrt6}{3}


  • x^2(x^2-1)(x^2+1)\le0

נפרק לשלושה ביטויים: x^2,x^2+1,x^2-1 ונבדוק מתי כל אחד מהם חיובי ושלילי.

x^2+1 : ריבוע של מספר הוא תמיד אי-שלילי, ולכן בתוספת 1 הוא תמיד חיובי (למשוואה x^2=-1 אין פתרון ממשי)

x^2-1 : מתאפס ב- x=\pm1 . הביטוי שלילי ביניהם וחיובי כאשר x<-1 או x>1

x^2 : מתאפס ב-0 וחיובי אחרת.

קיבלנו מספר תחומים. נבדוק את סימן הביטוי בכל תחום לפי מכפלת הסימנים של הביטויים הקטנים:

x<-1 : הביטוי הראשון חיובי, השני חיובי והשלישי חיובי. לכן המכפלה גם חיובית

-1<x<0 : הביטוי הראשון חיובי, השני שלילי והשלישי חיובי. לכן המכפלה שלילית

0<x<1 : הביטוי הראשון חיובי, השני שלילי והשלישי חיובי. לכן המכפלה שלילית

1<x : הביטוי הראשון חיובי, השני חיובי והשלישי חיובי. לכן המכפלה חיובית

בנקודות x=0,\pm1 הביטוי מתאפס לכן גם נקודות אלה הן פתרונות לאי-השוויון.

פתרון: -1\le x\le1


  • (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)\cdots(x-n)>0

כאשר n\in\N . שימו לב, רצוי לחלק למקרים אפשריים של n .

השאלה היא מתי מכפלה של n גורמים היא חיובית. התשובה היא כאשר מספר הגורמים השליליים הוא זוגי. כאשר x מספר שלם בין 1 ל-n , הביטוי מתאפס ולכן זה איננו פתרון.

לכן אנחנו מתעניינים בתחומים x<1,1<x<2,\ldots,n<x . בתחום האחרון n<x כל הגורמים חיוביים ולכן תחום זה הוא תמיד פתרון. נחלק למקרים:

n זוגי: אם x<1 כל הגורמים שליליים ולכן המכפלה כולה חיובית (כי n זוגי) ולכן זה פתרון. נשארנו עם התחומים מהצורה k<x<k+1 עבור 1\le k\le n-1 . אם k זוגי אז יש עוד מספר זוגי של תחומים כאלה אחריו (כי n זוגי) ולכן המכפלה חיובית. אחרת, יש מספר אי-זוגי של גורמים שליליים ולכן המכפלה שלילית.

לכן התשובה עבור n זוגי היא:

x<1,2<x<3,4<x<6,\ldots,2k<x<2k+1,\ldots,n-2<x<n-1,n<x

עבור n אי-זוגי נפתור בצורה דומה ונקבל:

1<x<2,3<x<4,\ldots,2k-1<x<2k,\ldots,n-2<x<n-1,n<x


  • |x|\le7

נחלק למקרים: אם x\ge0 נקבל את אי-השוויון |x|\le7 ולכן סה"כ הפתרונות של מקרה זה הם 0\le x\le7

אם x<0 נקבל x\ge-7 וסה"כ הפתרונות הם -7\le x<0

נאחד את הפתרונות של שני המקרים ונקבל את הפתרון

-7\le x\le7


  • |2x-1|<7

נחלק למקרים. הביטוי הערך המוחלט מתאפס ב- x=\tfrac12 לכן נתבונן במקרים:

x\ge\tfrac12 : אי-השוויון הוא 2x-1<7 לכן x<4 . התשובה היא \tfrac12\le x<4

x<\tfrac12 : אי-השוויון הוא -2x+1<7 לכן x>-3 . התשובה היא -3<x<\tfrac12 . נאחד את הפתרונות ונקבל:

פתרון: -3<x<4


  • (x-1)|x-1|>1

נחלק למקרים:

x>1 : אי-השוויון הוא (x-1)(x-1)>1 . נפשט ונקבל x(x-2)>0 . ביטוי זה חיובי כאשר x<0 או x>2 (בדקו!). לכן הפתרון הוא x>2

x<1 : אי-השוויון הוא -(x-1)(x-1)>1 . נפשט ונקבל (x-1)^2<-1 . הביטוי משמאל תמיד חיובי (בדקו!), לכן במקרה זה אין פתרון.

פתרון: x>2


  • \frac{|x|}{x}>1

נשים לב שלביטוי אין ערך ב- x=0 . אם x>0 נקבל \dfrac{x}{x}>1 וזה לא יתכן. אם x<0 נקבל \dfrac{-x}{x}>1 וגם זה לא יתכן.

פתרון: אף x לא מקיים את אי-השוויון


  • |x-1|>|x^2-1|

הביטוי בערך המוחלט הימני חיובי עבור x<-1 או x>1 .

x\le-1 : נקבל אי-שוויון -(x-1)>x^2-1 . נפשט ונקבל x^2+x-2<0 והפתרון של זה הוא -2<x<1 . סה"כ: -2<x\le-1

-1<x\le1 : נקבל אי-שוויון -(x-1)>-(x^2-1) ואחרי פישוט: x^2-x>0 . הפתרון הוא x<0 או x>1 לכן סה"כ: -1<x<0 .

x>1 : נקבל x-1>x^2-1 . נפשט ונקבל x(x-1)<0 והפתרון הוא 0<x<1 . לכן במקרה זה אין פתרון.

פתרון: -2<x<0


  • |x^2-4x-3|+|x-1|+|x-2|>2x

הביטוי הריבועי מתאפס ב- x=2\pm\sqrt7 . נחלק למקרים:

x\le2-\sqrt7 : x<0 או x>8 לכן סה"כ x\le2-\sqrt7

2-\sqrt7<x\le1: -\sqrt6<x<\sqrt6 . לכן סה"כ: 2-\sqrt7<x\le1

1<x\le2 : 1-\sqrt5<x<1+\sqrt5 . לכן סה"כ: 1<x\le2

2<x\le2+\sqrt7 : 0<x<4 . לכן סה"כ: 2<x<4

x>2+\sqrt7 : x<2-\sqrt{10} או x>2+\sqrt{10} . לכן סה"כ: x>2+\sqrt{10}

פתרון: x<4 או x>2+\sqrt{10}

2

נגדיר שתי פונקציות

\begin{align}
f(x)&=\begin{cases}x^2&x>0\\0&x=0\\-x^2&x<0\end{cases}\\\\g(x)&=\begin{cases}x-1&x>1\\|x|+x&x\le1\end{cases}
\end{align}

מצא עבור אילו ערכי x מתקיימים אי-השוויונות הבאים:

  • g(x)\le0

נפריד למקרים:

x<0 : במקרה זה אי-השוויון הוא -x + x\le0 והוא תמיד מתקיים

0\le x\le1 : אי-השוויון הוא x+x\le0 והוא מתקיים עבור x\le0 לכן הפתרון הוא x=0

x>1 : אי-השוויון הוא x-1\le0 לכן הפתרון הוא x\le1 ולכן אין פתרון

פתרון: x\le0


  • f(x+1)>0

f(x+1)=\begin{cases}(x+1)^2&x>-1\\0&x=-1\\-(x+1)^2&x<-1\end{cases}

נפריד למקרים:

x>-1 : אי-השוויון הוא (x+1)^2>0 וריבוע של מספר הוא תמיד אי שלילי לכן זה מתקיים לכל x>-1

x=-1 : ערך הפונקציה הוא 0 ולכן זה לא פתרון

x<-1 : אי-השוויון הוא -(x+1)^2>0 וזה לא מתקיים לאף ערך בתחום

פתרון: x>-1


  • g\big(f(x)\big)\ge0

נשים לב שמתקיים: g(x)\ge0 לכל x :

x<0 : g(x)=0

0\le x\le1 : g(x)=2x\ge0

x>1 : g(x)=x-1\ge0

לכן גם מתקיים g\big(f(x)\big)\ge0 לכל x


  • f(x+1)+g(x-1)>x
f(x+1)=\begin{cases}(x+1)^2&x>-1\\0&x=-1\\-(x+1)^2&x<-1\end{cases}
g(x-1)=\begin{cases}x-2&x>2\\2x-2&1\le x\le2\\0&x<1\end{cases}

x<-1 : f(x+1)+g(x-1)=-(x+1)^2>x . הפתרון הוא -\dfrac{3+\sqrt5}{2}<x<-1

x=-1 : f(x+1)+g(x-1)=0>-1 לכן זה פתרון.

-1<x<1 : f(x+1)+g(x-1)=(x+1)^2>x . נכון לכל x .

1\le x\le2 : f(x+1)+g(x-1)=(x+1)^2+2x-2>x . כל התחום הוא פתרון

x>2 : f(x+1)+g(x-1)=(x+1)^2+x-2>x . גם כאן כל התחום הוא פתרון

פתרון: x>-\dfrac{3+\sqrt5}{2}


  • |g(x^2)-f(x)|<x
g(x^2)=\begin{cases}x^2-1&x<-1\or1<x\\2x^2&-1\le x\le1\end{cases}

x<-1 : |g(x^2)-f(x)|=|x^2-1+x^2|=|2x^2-1|<x .

כיון שאנחנו בתחום x<-1 נקבל שהביטוי תמיד חיובי ולכן ניתן להשמיט את הערך המוחלט ולקבל: 2x^2-1<x .

לאי-שוויון זה אין פתרון בתחום -1\le x<0 . נקבל |2x^2+x^2|=|3x^2|=3x^2<x ואין לזה פתרון בתחום x=0 . נציב ונקבל שזה לא פתרון

0<x\le1 : נקבל |2x^2-x^2|=x^2<x והפתרון הוא 0<x<1

x>1 : נקבל |x^2-1-x^2|=1<x והפתרון הוא כל התחום


פתרון: 0<x<1 או x>1