שינויים
==1==
*<math>x^2+2x+1\leq 0le0</math>נבדוק מתי הביטוי באגף שמאל מתאפס: <math>x^2+2x+1 = 0</math>.
לפי נוסחה נוסחא נקבל פתרון יחיד <math>x=-1</math>.
המקדם של <math>x^2</math> חיובי (1) לכן הביטוי מתאפס ב- <math>x=-1</math> וחיובי מימינו ומשמאלו (ולכן אינו שלילי לאף <math>x</math>).
פתרון: <math>x=-1</math>
*<math>(1-x)(x+6)> 0</math>נבדוק מתי מתאפס. הביטוי הוא מכפלה של שני ביטויים ולכן הוא מתאפס כאשר כל אחד מהם מתאפס. לכן אגף שמאל מתאפס ב- <math>x=1</math> וב<math>x=,-6</math>.
אם נפתח סוגריים נקבל <math>-x^2-5x+6</math> והמקדם של <math>x^2</math> שלילי לכן הביטוי מקבל ערכים שליליים כשכאשר <math>x<-6</math> ואו <math>x>1</math>, וערכים חיוביים כשכאשר <math>-6<x<1</math>.
פתרון: <math>-6<x<1</math>
*<math>-3x^2 +6x - 1 \geq 0 ge0</math>נבדוק מתי הביטוי מתאפס: <math>-3x^2+6x-1=0</math>? . לפי נוסחה נוסחא נקבל <math>x=\dfrac{-6 \pm \sqrt{36-12} \over }{-6}=1 \pm \dfrac{\sqrtsqrt6}{6} \over 3}</math>
המקדם של <math>x^2</math> שלילי לכן הערכים החיוביים מתקבלים בין הפתרונות שמצאנו.
פתרון: <math>1 - {\sqrtdfrac{6} \over sqrt6}{3} \leq le x \leq 1 le1+ {\sqrtdfrac{6} \over sqrt6}{3}</math>
*<math>(x^2+1)(x^2-1)(x^2 +1)\leq 0le0</math>נפרק לשלושה ביטויים: <math>x^2+1</math> , <math>x^2-+1</math> , <math>x^2-1</math> , ונבדוק מתי כל אחד מהם חיובי ושלילי.
<math>x^2+1</math> : ריבוע של מספר הוא תמיד אי-שלילי, ולכן בתוספת 1 הוא תמיד חיובי (למשוואה <math>x^2=-1</math> אין פתרון ממשי)
<math>x^2-1</math> : מתאפס ב- <math>x= \pm 1pm1</math>. הביטוי שלילי ביניהם וחיובי בכאשר <math>x<-1</math> או <math>x>1</math>
<math>x^2</math> : מתאפס ב0 ב-0 וחיובי אחרת.
קיבלנו מספר תחומים. נבדוק את סימן הביטוי בכל תחום לפי מכפלת הסימנים של הביטויים הקטנים:
<math>1<x</math> : הביטוי הראשון חיובי, השני חיובי והשלישי חיובי. לכן המכפלה חיובית
בנקודות <math>x=0 , \pm 1pm1</math> הביטוי מתאפס לכן גם נקודות אלה הן פתרונות לאי -השוויון.
פתרון: <math>-1 \leq le x \leq 1le1</math>
*<math>(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)\cdots (x-n)>0</math> כאשר <math>n\in\mathbb{N}</math>. שימו לב, רצוי לחלק למקרים אפשריים של <math>n</math> .
השאלה היא מתי מכפלה של <math>n </math> גורמים היא חיובית. התשובה היא כאשר מספר הגורמים השליליים הוא זוגי. כאשר <math>x </math> מספר שלם בין 1 לnל-<math>n</math> , הביטוי מתאפס ולכן זה לא פיתרוןאיננו פתרון.
לכן אנחנו מתעניינים בתחומים <math>x < 1 , 1<x<2 , ... \ldots, n<x</math>. בתחום האחרון, <math>n<x</math> , כל הגורמים חיוביים ולכן תחום זה הוא תמיד פתרון. נחלק למקרים:
<math>n </math> זוגי: אם <math>x קטן מ1, <1</math> כל הגורמים שליליים ולכן המכפלה כולה חיובית (כי <math>n </math> זוגי) ולכן זה פתרון. נשארנו עם התחומים מהצורה <math>ik<x<ik+1</math> עבור i בין <math>1 לn\le k\le n-1</math> . אם i <math>k</math> זוגי אז יש עוד מספר זוגי של תחומים כאלה אחריו (כי <math>n </math> זוגי) ולכן המכפלה חיובית. אחרת, יש מספר אי -זוגי של גורמים שליליים ולכן המכפלה שלילית.
לכן התשובה עבור <math>n </math> זוגי היא:: <math>x<1 , 2<x<3 , 4<x<6 , ... \ldots, 2i 2k< x < 2i2k+1 , ... \ldots, n-2 < x < n-1 , n<x</math>
עבור <math>n </math> אי -זוגי נפתור בצורה דומה ונקבל:: <math>1<x<2 , 3<x<4 , ... < 2i\ldots,2k-1<x<2i 2k, ... \ldots, n-2 < x < n-1, n < x</math>
*<math>|x|\le7</math>
נחלק למקרים: אם <math>x\ge0</math> נקבל את אי-השוויון <math>|x|\le7</math> ולכן סה"כ הפתרונות של מקרה זה הם <math>0\le x\le7</math>
נאחד את הפתרונות של שני המקרים ונקבל את הפתרון
*<math>|2x-1|<7</math>
נחלק למקרים. הביטוי הערך המוחלט מתאפס ב- <math>1 /over 2x=\tfrac12</math> לכן נתבונן במקרים:
<math>x \geq {1 ge\over 2}tfrac12</math> : אי -השוויון הוא <math>2x-1<7</math> לכן <math>2x<8</math> ו<math>x<4</math>. התשובה היא <math>{1 \over 2} tfrac12\leq le x < 4</math>
<math>x < {1 \over 2}tfrac12</math> : אי -השוויון הוא <math>-2x+1<7</math> לכן <math>-2x<6</math> לכן <math>x>-3</math>. התשובה היא <math>-3 <x < {1 \over 2}tfrac12</math>. נאחד את הפתרונות ונקבל:
פתרון: <math>-3 < x < 4</math>
*<math>(x-1)|x-1| > 1</math>
נחלק למקרים:
<math>x>1</math> : אי -השוויון הוא <math>(x-1)(x-1) > 1</math>. נפשט ונקבל <math>x^2(x-2x 2)> 0</math>. ביטוי זה חיובי עבור כאשר <math>x<0</math> או <math>x > 2</math> (בדקו!). לכן הפתרון הוא <math>x>2</math>
<math>x<1</math> : אי -השוויון הוא <math>-(x-1)(x-1)>1</math>. נפשט ונקבל <math>-(x-1)^2 +2x <-2 > 01</math> ביטוי זה אף פעם לא . הביטוי משמאל תמיד חיובי (בדקו!), לכן במקרה זה אין פתרון.
פתרון: <math>x>2</math>
*<math>\frac{|x|}{x} > 1</math>נשים לב שלביטוי אין ערך ב- <math>x=0</math>. אם <math>x>0</math> נקבל <math>\dfrac{x\over }{x} > 1</math> וזה לא יתכן. אם <math>x<0</math> נקבל <math>\dfrac{-x \over }{x} >1</math> וגם זה לא יתכן.
פתרון: אף <math>x </math> לא מקיים את אי -השוויון
*<math>|x-1|>|x^2-1|</math>
הביטוי בערך המוחלט הימני חיובי עבור <math>x<-1</math> או <math>x>1</math>.
<math>x \leq le-1</math> : נקבל אי -שוויון <math>-(x-1) > x^2 - 1</math> . נפשט ונקבל <math>x^2 +x -2 < 0</math> והפתרון של זה הוא <math>-2 < x < 1</math> . סה"כ: <math>-2 < x \leq le-1</math>
<math>-1 < x \leq 1le1</math> : נקבל אי -שוויון <math>-(x-1) > -(x^2-1)</math> ואחרי פישוט: <math>x^2 -x > 0</math> . הפתרון הוא <math>x<0</math> או <math>x > 1</math> לכן סה"כ: <math>-1 < x < 0</math> .
<math>x > 1</math> : נקבל <math>x-1 > x^2 - 1</math> . נפשט: ונקבל <math>x^2 -(x -1)< 0</math> והפתרון הוא <math>0 < x < 1</math> . לכן במקרה זה אין פתרון.
פתרון: <math>-2 < x <0</math>
*<math>|x^2-4x-3| + |x-1| + |x-2| > 2x</math>הביטוי הריבועי מתאפס ב - <math>x=2 \pm \sqrt{7}sqrt7</math> . נחלק למקרים:
<math>x \leq 2le2-\sqrt{7}sqrt7</math> : <math>x < 0</math> או <math>x > 8</math> לכן סה"כ <math>x \leq 2 le2- \sqrt{7}sqrt7</math>
<math>2-\sqrt{7} sqrt7< x \leq 1le1</math>: <math>-\sqrt{6} sqrt6< x < \sqrt{6}sqrt6</math> . לכן סה"כ: <math>2-\sqrt{7}sqrt7<x\leq 1le1</math>
<math>1 < x \leq 2le2</math> : <math>1-\sqrt{5}sqrt5<x<1+\sqrt{5}sqrt5</math> . לכן סה"כ: <math>1 < x \leq 2le2</math>
<math>2 < x \leq 2 le2+ \sqrt{7}sqrt7</math> : <math>0<x<4</math> . לכן סה"כ: <math>2 < x < 4</math>
<math>x > 2+\sqrt{7}sqrt7</math> : <math>x<2-\sqrt{10}</math> או <math>x>2+\sqrt{10}</math> . לכן סה"כ: <math>x>2+\sqrt{10}</math>
פתרון: <math>x<4</math> או <math>x>2+\sqrt{10}</math>
==2==
נגדיר שתי פונקציות
:<math>\begin{align}
f(x)&=\begin{cases}x^2&x>0\\0&x=0\\-x^2&x<0\end{cases}\\\\g(x)&=\begin{cases}x-1&x>1\\|x|+x&x\le1\end{cases}
\end{align}</math>
מצא עבור אילו ערכי <math>x</math> מתקיימים אי-השוויונות הבאים:
*<math>g(x)\le0</math>
נפריד למקרים:
<math>x<0</math> : במקרה זה אי-השוויון הוא <math>-x + x\le0</math> והוא תמיד מתקיים
<math>0\le x\le1</math> : אי-השוויון הוא <math>x+x\le0</math> והוא מתקיים עבור <math>x\le0</math> לכן הפתרון הוא <math>x=0</math>
<math>x>1</math> : אי-השוויון הוא <math>x-1\le0</math> לכן הפתרון הוא <math>x\le1</math> ולכן אין פתרון
פתרון: <math>x\le0</math>
*<math>f(x+1)>0</math>
<math>f(x+1)=\begin{cases}(x+1)^2&x>-1\\0&x=-1\\-(x+1)^2&x<-1\end{cases}</math>
נפריד למקרים:
<math>x>-1</math> : אי-השוויון הוא <math>(x+1)^2>0</math> וריבוע של מספר הוא תמיד אי שלילי לכן זה מתקיים לכל <math>x>-1</math>
<math>x=-1</math> : ערך הפונקציה הוא 0 ולכן זה לא פתרון
<math>x<-1</math> : אי-השוויון הוא <math>-(x+1)^2>0</math> וזה לא מתקיים לאף ערך בתחום
פתרון: <math>x>-1</math>
*<math>g\big(f(x)\big)\ge0</math>
נשים לב שמתקיים: <math>g(x)\ge0</math> לכל <math>x</math> :
<math>x<0</math> : <math>g(x)=0</math>
<math>0\le x\le1</math> : <math>g(x)=2x\ge0</math>
<math>x>1</math> : <math>g(x)=x-1\ge0</math>
לכן גם מתקיים <math>g\big(f(x)\big)\ge0</math> לכל <math>x</math>
*<math>f(x+1)+g(x-1)>x</math>
::<math>f(x+1)=\begin{cases}(x+1)^2&x>-1\\0&x=-1\\-(x+1)^2&x<-1\end{cases}</math>
::<math>g(x-1)=\begin{cases}x-2&x>2\\2x-2&1\le x\le2\\0&x<1\end{cases}</math>
<math>x<-1</math> : <math>f(x+1)+g(x-1)=-(x+1)^2>x</math> . הפתרון הוא <math>-\dfrac{3+\sqrt5}{2}<x<-1</math>
<math>x=-1</math> : <math>f(x+1)+g(x-1)=0>-1</math> לכן זה פתרון.
<math>-1<x<1</math> : <math>f(x+1)+g(x-1)=(x+1)^2>x</math> . נכון לכל <math>x</math> .
<math>1\le x\le2</math> : <math>f(x+1)+g(x-1)=(x+1)^2+2x-2>x</math> . כל התחום הוא פתרון
<math>x>2</math> : <math>f(x+1)+g(x-1)=(x+1)^2+x-2>x</math> . גם כאן כל התחום הוא פתרון
פתרון: <math>x>-\dfrac{3+\sqrt5}{2}</math>
*<math>|g(x^2)-f(x)|<x</math>
::<math>g(x^2)=\begin{cases}x^2-1&x<-1\or1<x\\2x^2&-1\le x\le1\end{cases}</math>
<math>x<-1</math> : <math>|g(x^2)-f(x)|=|x^2-1+x^2|=|2x^2-1|<x</math> .
כיון שאנחנו בתחום <math>x<-1</math> נקבל שהביטוי תמיד חיובי ולכן ניתן להשמיט את הערך המוחלט ולקבל: <math>2x^2-1<x</math> .
לאי-שוויון זה אין פתרון בתחום <math>-1\le x<0</math> . נקבל <math>|2x^2+x^2|=|3x^2|=3x^2<x</math> ואין לזה פתרון בתחום <math>x=0</math> . נציב ונקבל שזה לא פתרון
<math>0<x\le1</math> : נקבל <math>|2x^2-x^2|=x^2<x</math> והפתרון הוא <math>0<x<1</math>
<math>x>1</math> : נקבל <math>|x^2-1-x^2|=1<x</math> והפתרון הוא כל התחום
פתרון: <math>0<x<1</math> או <math>x>1</math>
