הבדלים בין גרסאות בדף "מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/1/פתרון 1"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
שורה 1: שורה 1:
 
==1==
 
==1==
 
*<math>x^2+2x+1\le0</math>
 
*<math>x^2+2x+1\le0</math>
נבדוק מתי הביטוי באגף שמאל מתאפס: <math>x^2+2x+1=0</math> .
+
נבדוק מתי הביטוי באגף שמאל מתאפס.
  
 
לפי נוסחא נקבל פתרון יחיד <math>x=-1</math> .
 
לפי נוסחא נקבל פתרון יחיד <math>x=-1</math> .
שורה 27: שורה 27:
  
  
*<math>(x^2+1)(x^2-1)x^2 \leq 0</math>
+
*<math>x^2(x^2-1)(x^2+1)\le0</math>
נפרק לשלושה ביטויים: <math>x^2+1</math> , <math>x^2-1</math> , <math>x^2</math> , ונבדוק מתי כל אחד מהם חיובי ושלילי.
+
נפרק לשלושה ביטויים: <math>x^2,x^2+1,x^2-1</math> ונבדוק מתי כל אחד מהם חיובי ושלילי.
  
 
<math>x^2+1</math> : ריבוע של מספר הוא תמיד אי-שלילי, ולכן בתוספת 1 הוא תמיד חיובי (למשוואה <math>x^2=-1</math> אין פתרון ממשי)
 
<math>x^2+1</math> : ריבוע של מספר הוא תמיד אי-שלילי, ולכן בתוספת 1 הוא תמיד חיובי (למשוואה <math>x^2=-1</math> אין פתרון ממשי)
  
<math>x^2-1</math> : מתאפס ב<math>x= \pm 1</math>. הביטוי שלילי ביניהם וחיובי ב<math>x<-1</math> או <math>x>1</math>
+
<math>x^2-1</math> : מתאפס ב- <math>x=\pm1</math> . הביטוי שלילי ביניהם וחיובי כאשר <math>x<-1</math> או <math>x>1</math>
  
<math>x^2</math> : מתאפס ב0 וחיובי אחרת.
+
<math>x^2</math> : מתאפס ב-0 וחיובי אחרת.
  
 
קיבלנו מספר תחומים. נבדוק את סימן הביטוי בכל תחום לפי מכפלת הסימנים של הביטויים הקטנים:
 
קיבלנו מספר תחומים. נבדוק את סימן הביטוי בכל תחום לפי מכפלת הסימנים של הביטויים הקטנים:
שורה 46: שורה 46:
 
<math>1<x</math> : הביטוי הראשון חיובי, השני חיובי והשלישי חיובי. לכן המכפלה חיובית
 
<math>1<x</math> : הביטוי הראשון חיובי, השני חיובי והשלישי חיובי. לכן המכפלה חיובית
  
בנקודות <math>x=0 , \pm 1</math> הביטוי מתאפס לכן גם נקודות אלה הן פתרונות לאי השוויון.
+
בנקודות <math>x=0,\pm1</math> הביטוי מתאפס לכן גם נקודות אלה הן פתרונות לאי-השוויון.
  
פתרון: <math>-1 \leq x \leq 1</math>
+
פתרון: <math>-1\le x\le1</math>
  
  
*<math>(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)\cdots (x-n)>0</math>  
+
*<math>(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)\cdots(x-n)>0</math>  
כאשר <math>n\in\mathbb{N}</math>. שימו לב, רצוי לחלק למקרים אפשריים של n.
+
כאשר <math>n\in\N</math> . שימו לב, רצוי לחלק למקרים אפשריים של <math>n</math> .
  
השאלה היא מתי מכפלה של n גורמים היא חיובית. התשובה היא כאשר מספר הגורמים השליליים הוא זוגי. כאשר x מספר שלם בין 1 לn, הביטוי מתאפס ולכן זה לא פיתרון.
+
השאלה היא מתי מכפלה של <math>n</math> גורמים היא חיובית. התשובה היא כאשר מספר הגורמים השליליים הוא זוגי. כאשר <math>x</math> מספר שלם בין 1 ל-<math>n</math> , הביטוי מתאפס ולכן זה איננו פתרון.
  
לכן אנחנו מתעניינים בתחומים <math>x < 1 , 1<x<2 , ... , n<x</math>. בתחום האחרון, <math>n<x</math> , כל הגורמים חיוביים ולכן תחום זה הוא תמיד פתרון. נחלק למקרים:
+
לכן אנחנו מתעניינים בתחומים <math>x<1,1<x<2,\ldots,n<x</math> . בתחום האחרון <math>n<x</math> כל הגורמים חיוביים ולכן תחום זה הוא תמיד פתרון. נחלק למקרים:
  
n זוגי: אם x קטן מ1, כל הגורמים שליליים ולכן המכפלה כולה חיובית (כי n זוגי) ולכן זה פתרון. נשארנו עם התחומים מהצורה <math>i<x<i+1</math> עבור i בין 1 לn-1. אם i זוגי אז יש עוד מספר זוגי של תחומים כאלה אחריו (כי n זוגי) ולכן המכפלה חיובית. אחרת, יש מספר אי זוגי של גורמים שליליים ולכן המכפלה שלילית.
+
<math>n</math> זוגי: אם <math>x<1</math> כל הגורמים שליליים ולכן המכפלה כולה חיובית (כי <math>n</math> זוגי) ולכן זה פתרון. נשארנו עם התחומים מהצורה <math>k<x<k+1</math> עבור <math>1\le k\le n-1</math> . אם <math>k</math> זוגי אז יש עוד מספר זוגי של תחומים כאלה אחריו (כי <math>n</math> זוגי) ולכן המכפלה חיובית. אחרת, יש מספר אי-זוגי של גורמים שליליים ולכן המכפלה שלילית.
  
לכן התשובה עבור n זוגי היא: <math>x<1 , 2<x<3 , 4<x<6 , ... , 2i < x < 2i+1 , ... , n-2 < x < n-1 , n<x</math>
+
לכן התשובה עבור <math>n</math> זוגי היא:
 +
:<math>x<1,2<x<3,4<x<6,\ldots,2k<x<2k+1,\ldots,n-2<x<n-1,n<x</math>
  
עבור n אי זוגי נפתור בצורה דומה ונקבל: <math>1<x<2 , 3<x<4 , ... < 2i-1<x<2i , ... , n-2 < x < n-1, n < x</math>
+
עבור <math>n</math> אי-זוגי נפתור בצורה דומה ונקבל:
 +
:<math>1<x<2,3<x<4,\ldots,2k-1<x<2k,\ldots,n-2<x<n-1,n<x</math>
  
  
*<math>|x|\leq 7</math>
+
*<math>|x|\le7</math>
נחלק למקרים: אם <math>x \geq 0</math> נקבל את אי השוויון <math>|x|\leq 7</math> ולכן סה"כ הפתרונות של מקרה זה הם <math>0 \leq x \leq 7</math>
+
נחלק למקרים: אם <math>x\ge0</math> נקבל את אי-השוויון <math>|x|\le7</math> ולכן סה"כ הפתרונות של מקרה זה הם <math>0\le x\le7</math>
  
אם <math>x<0</math> נקבל <math>-x \le 7</math> , לכן <math>x \geq -7</math> וסה"כ הפתרונות הם <math>-7 \leq x < 0</math>
+
אם <math>x<0</math> נקבל <math>x\ge-7</math> וסה"כ הפתרונות הם <math>-7\le x<0</math>
  
 
נאחד את הפתרונות של שני המקרים ונקבל את הפתרון
 
נאחד את הפתרונות של שני המקרים ונקבל את הפתרון
 
+
:<math>-7\le x\le7</math>
פתרון: <math>-7 \leq x \leq 7</math>
+
  
  
 
*<math>|2x-1|<7</math>
 
*<math>|2x-1|<7</math>
נחלק למקרים. הביטוי הערך המוחלט מתאפס ב<math>1 /over 2</math> לכן נתבונן במקרים:
+
נחלק למקרים. הביטוי הערך המוחלט מתאפס ב- <math>x=\tfrac12</math> לכן נתבונן במקרים:
  
<math>x \geq {1 \over 2}</math> : אי השוויון הוא <math>2x-1<7</math> לכן <math>2x<8</math> ו<math>x<4</math>. התשובה היא <math>{1 \over 2} \leq x < 4</math>
+
<math>x\ge\tfrac12</math> : אי-השוויון הוא <math>2x-1<7</math> לכן <math>x<4</math> . התשובה היא <math>\tfrac12\le x<4</math>
  
<math>x < {1 \over 2}</math> : אי השוויון הוא <math>-2x+1<7</math> לכן <math>-2x<6</math> לכן <math>x>-3</math>. התשובה היא <math>-3 <x < {1 \over 2}</math>. נאחד את הפתרונות ונקבל:
+
<math>x<\tfrac12</math> : אי-השוויון הוא <math>-2x+1<7</math> לכן <math>x>-3</math> . התשובה היא <math>-3<x<\tfrac12</math> . נאחד את הפתרונות ונקבל:
  
פתרון: <math>-3 < x < 4</math>
+
פתרון: <math>-3<x<4</math>
  
  
*<math>(x-1)|x-1| > 1</math>
+
*<math>(x-1)|x-1|>1</math>
 
נחלק למקרים:
 
נחלק למקרים:
  
<math>x>1</math> : אי השוויון הוא <math>(x-1)(x-1) > 1</math>. נפשט ונקבל <math>x^2-2x > 0</math>. ביטוי זה חיובי עבור <math>x<0</math> או <math>x > 2</math> (בדקו!). לכן הפתרון הוא <math>x>2</math>
+
<math>x>1</math> : אי-השוויון הוא <math>(x-1)(x-1)>1</math> . נפשט ונקבל <math>x(x-2)>0</math> . ביטוי זה חיובי כאשר <math>x<0</math> או <math>x>2</math> (בדקו!). לכן הפתרון הוא <math>x>2</math>
  
<math>x<1</math> : אי השוויון הוא <math>-(x-1)(x-1)>1</math>. נפשט ונקבל <math>-x^2 +2x -2 > 0</math> ביטוי זה אף פעם לא חיובי (בדקו!), לכן במקרה זה אין פתרון.
+
<math>x<1</math> : אי-השוויון הוא <math>-(x-1)(x-1)>1</math> . נפשט ונקבל <math>(x-1)^2<-1</math> . הביטוי משמאל תמיד חיובי (בדקו!), לכן במקרה זה אין פתרון.
  
 
פתרון: <math>x>2</math>
 
פתרון: <math>x>2</math>
  
  
*<math>\frac{|x|}{x} > 1</math>
+
*<math>\frac{|x|}{x}>1</math>
נשים לב שלביטוי אין ערך ב<math>x=0</math>. אם <math>x>0</math> נקבל <math>{x\over x} > 1</math> וזה לא יתכן. אם <math>x<0</math> נקבל <math>{-x \over x} >1</math> וגם זה לא יתכן.
+
נשים לב שלביטוי אין ערך ב- <math>x=0</math> . אם <math>x>0</math> נקבל <math>\dfrac{x}{x}>1</math> וזה לא יתכן. אם <math>x<0</math> נקבל <math>\dfrac{-x}{x}>1</math> וגם זה לא יתכן.
  
פתרון: אף x לא מקיים את אי השוויון
+
פתרון: אף <math>x</math> לא מקיים את אי-השוויון
  
  
 
*<math>|x-1|>|x^2-1|</math>
 
*<math>|x-1|>|x^2-1|</math>
הביטוי בערך המוחלט הימני חיובי עבור <math>x<-1</math> או <math>x>1</math>.
+
הביטוי בערך המוחלט הימני חיובי עבור <math>x<-1</math> או <math>x>1</math> .
  
<math>x \leq -1</math> : נקבל אי שוויון <math>-(x-1) > x^2 - 1</math> . נפשט ונקבל <math>x^2 +x -2 < 0</math> והפתרון של זה הוא <math>-2 < x < 1</math> . סה"כ: <math>-2 < x \leq -1</math>
+
<math>x\le-1</math> : נקבל אי-שוויון <math>-(x-1)>x^2-1</math> . נפשט ונקבל <math>x^2+x-2<0</math> והפתרון של זה הוא <math>-2<x<1</math> . סה"כ: <math>-2<x\le-1</math>
  
<math>-1 < x \leq 1</math> : נקבל אי שוויון <math>-(x-1) > -(x^2-1)</math> ואחרי פישוט: <math>x^2 -x > 0</math> . הפתרון הוא <math>x<0</math> או <math>x > 1</math> לכן סה"כ: <math>-1 < x < 0</math> .
+
<math>-1<x\le1</math> : נקבל אי-שוויון <math>-(x-1)>-(x^2-1)</math> ואחרי פישוט: <math>x^2-x>0</math> . הפתרון הוא <math>x<0</math> או <math>x>1</math> לכן סה"כ: <math>-1<x<0</math> .
  
<math>x > 1</math> : נקבל <math>x-1 > x^2 - 1</math> . נפשט: <math>x^2 -x < 0</math> והפתרון הוא <math>0 < x < 1</math> . לכן במקרה זה אין פתרון.
+
<math>x>1</math> : נקבל <math>x-1>x^2-1</math> . נפשט ונקבל <math>x(x-1)<0</math> והפתרון הוא <math>0<x<1</math> . לכן במקרה זה אין פתרון.
  
פתרון: <math>-2 < x < 0</math>
+
פתרון: <math>-2<x<0</math>
  
  
*<math>|x^2-4x-3| + |x-1| + |x-2| > 2x</math>
+
*<math>|x^2-4x-3|+|x-1|+|x-2|>2x</math>
הביטוי הריבועי מתאפס ב <math>2 \pm \sqrt{7}</math> . נחלק למקרים:
+
הביטוי הריבועי מתאפס ב- <math>2\pm\sqrt7</math> . נחלק למקרים:
  
<math>x \leq 2-\sqrt{7}</math> : <math>x < 0</math> או <math>x > 8</math> לכן סה"כ <math>x \leq 2 - \sqrt{7}</math>
+
<math>x\le2-\sqrt7</math> : <math>x<0</math> או <math>x>8</math> לכן סה"כ <math>x\le2-\sqrt7</math>
  
<math>2-\sqrt{7} < x \leq 1</math>: <math>-\sqrt{6} < x < \sqrt{6}</math> . לכן סה"כ: <math>2-\sqrt{7}<x\leq 1</math>
+
<math>2-\sqrt7<x\le1</math>: <math>-\sqrt6<x<\sqrt6</math> . לכן סה"כ: <math>2-\sqrt7<x\le1</math>
  
<math>1 < x \leq 2</math> : <math>1-\sqrt{5}<x<1+\sqrt{5}</math> . לכן סה"כ: <math>1 < x \leq 2</math>
+
<math>1<x\le2</math> : <math>1-\sqrt5<x<1+\sqrt5</math> . לכן סה"כ: <math>1<x\le2</math>
  
<math>2 < x \leq 2 + \sqrt{7}</math> : <math>0<x<4</math> . לכן סה"כ: <math>2 < x < 4</math>
+
<math>2<x\le2+\sqrt7</math> : <math>0<x<4</math> . לכן סה"כ: <math>2<x<4</math>
  
<math>x > 2+\sqrt{7}</math> : <math>x<2-\sqrt{10}</math> או <math>x>2+\sqrt{10}</math> . לכן סה"כ: <math>x>2+\sqrt{10}</math>
+
<math>x>2+\sqrt7</math> : <math>x<2-\sqrt{10}</math> או <math>x>2+\sqrt{10}</math> . לכן סה"כ: <math>x>2+\sqrt{10}</math>
  
 
פתרון: <math>x<4</math> או <math>x>2+\sqrt{10}</math>
 
פתרון: <math>x<4</math> או <math>x>2+\sqrt{10}</math>
  
 
==2==
 
==2==
 
 
נגדיר שתי פונקציות
 
נגדיר שתי פונקציות
 +
:<math>\begin{align}
 +
f(x)&=\begin{cases}x^2&x>0\\0&x=0\\-x^2&x<0\end{cases}\\\\g(x)&=\begin{cases}x-1&x>1\\|x|+x&x\le1\end{cases}
 +
\end{align}</math>
  
::<math>f(x)=\begin{cases}x^2 & x>0 \\ 0 & x=0 \\ -x^2 & x<0\end{cases}</math>  
+
מצא עבור אילו ערכי <math>x</math> מתקיימים אי-השוויונות הבאים:
 
+
*<math>g(x)\le0</math>
 
+
 
+
::<math>g(x)=\begin{cases}x-1 & x>1 \\ |x|+x & x \leq 1\end{cases}</math>
+
 
+
 
+
 
+
מצא עבור אילו ערכי x מתקיימים אי השיוויונים הבאים:
+
 
+
  
* <math>g(x)\leq 0</math>
 
 
נפריד למקרים:
 
נפריד למקרים:
  

גרסה מ־22:05, 16 בפברואר 2017

1

  • x^2+2x+1\le0

נבדוק מתי הביטוי באגף שמאל מתאפס.

לפי נוסחא נקבל פתרון יחיד x=-1 .

המקדם של x^2 חיובי (1) לכן הביטוי מתאפס ב- x=-1 וחיובי מימינו ומשמאלו (ולכן אינו שלילי לאף x).

פתרון: x=-1


  • (1-x)(x+6)>0

נבדוק מתי מתאפס. הביטוי הוא מכפלה של שני ביטויים ולכן הוא מתאפס כאשר כל אחד מהם מתאפס. לכן אגף שמאל מתאפס ב- x=1,-6 .

אם נפתח סוגריים נקבל -x^2-5x+6 והמקדם של x^2 שלילי לכן הביטוי מקבל ערכים שליליים כאשר x<-6 או x>1 , וערכים חיוביים כאשר -6<x<1 .

פתרון: -6<x<1


  • -3x^2+6x-1\ge0

נבדוק מתי מתאפס. לפי נוסחא נקבל x=\dfrac{-6\pm\sqrt{36-12}}{-6}=1\pm\dfrac{\sqrt6}{3}

המקדם של x^2 שלילי לכן הערכים החיוביים מתקבלים בין הפתרונות שמצאנו.

פתרון: 1-\dfrac{\sqrt6}{3}\le x\le1+\dfrac{\sqrt6}{3}


  • x^2(x^2-1)(x^2+1)\le0

נפרק לשלושה ביטויים: x^2,x^2+1,x^2-1 ונבדוק מתי כל אחד מהם חיובי ושלילי.

x^2+1 : ריבוע של מספר הוא תמיד אי-שלילי, ולכן בתוספת 1 הוא תמיד חיובי (למשוואה x^2=-1 אין פתרון ממשי)

x^2-1 : מתאפס ב- x=\pm1 . הביטוי שלילי ביניהם וחיובי כאשר x<-1 או x>1

x^2 : מתאפס ב-0 וחיובי אחרת.

קיבלנו מספר תחומים. נבדוק את סימן הביטוי בכל תחום לפי מכפלת הסימנים של הביטויים הקטנים:

x<-1 : הביטוי הראשון חיובי, השני חיובי והשלישי חיובי. לכן המכפלה גם חיובית

-1<x<0 : הביטוי הראשון חיובי, השני שלילי והשלישי חיובי. לכן המכפלה שלילית

0<x<1 : הביטוי הראשון חיובי, השני שלילי והשלישי חיובי. לכן המכפלה שלילית

1<x : הביטוי הראשון חיובי, השני חיובי והשלישי חיובי. לכן המכפלה חיובית

בנקודות x=0,\pm1 הביטוי מתאפס לכן גם נקודות אלה הן פתרונות לאי-השוויון.

פתרון: -1\le x\le1


  • (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)\cdots(x-n)>0

כאשר n\in\N . שימו לב, רצוי לחלק למקרים אפשריים של n .

השאלה היא מתי מכפלה של n גורמים היא חיובית. התשובה היא כאשר מספר הגורמים השליליים הוא זוגי. כאשר x מספר שלם בין 1 ל-n , הביטוי מתאפס ולכן זה איננו פתרון.

לכן אנחנו מתעניינים בתחומים x<1,1<x<2,\ldots,n<x . בתחום האחרון n<x כל הגורמים חיוביים ולכן תחום זה הוא תמיד פתרון. נחלק למקרים:

n זוגי: אם x<1 כל הגורמים שליליים ולכן המכפלה כולה חיובית (כי n זוגי) ולכן זה פתרון. נשארנו עם התחומים מהצורה k<x<k+1 עבור 1\le k\le n-1 . אם k זוגי אז יש עוד מספר זוגי של תחומים כאלה אחריו (כי n זוגי) ולכן המכפלה חיובית. אחרת, יש מספר אי-זוגי של גורמים שליליים ולכן המכפלה שלילית.

לכן התשובה עבור n זוגי היא:

x<1,2<x<3,4<x<6,\ldots,2k<x<2k+1,\ldots,n-2<x<n-1,n<x

עבור n אי-זוגי נפתור בצורה דומה ונקבל:

1<x<2,3<x<4,\ldots,2k-1<x<2k,\ldots,n-2<x<n-1,n<x


  • |x|\le7

נחלק למקרים: אם x\ge0 נקבל את אי-השוויון |x|\le7 ולכן סה"כ הפתרונות של מקרה זה הם 0\le x\le7

אם x<0 נקבל x\ge-7 וסה"כ הפתרונות הם -7\le x<0

נאחד את הפתרונות של שני המקרים ונקבל את הפתרון

-7\le x\le7


  • |2x-1|<7

נחלק למקרים. הביטוי הערך המוחלט מתאפס ב- x=\tfrac12 לכן נתבונן במקרים:

x\ge\tfrac12 : אי-השוויון הוא 2x-1<7 לכן x<4 . התשובה היא \tfrac12\le x<4

x<\tfrac12 : אי-השוויון הוא -2x+1<7 לכן x>-3 . התשובה היא -3<x<\tfrac12 . נאחד את הפתרונות ונקבל:

פתרון: -3<x<4


  • (x-1)|x-1|>1

נחלק למקרים:

x>1 : אי-השוויון הוא (x-1)(x-1)>1 . נפשט ונקבל x(x-2)>0 . ביטוי זה חיובי כאשר x<0 או x>2 (בדקו!). לכן הפתרון הוא x>2

x<1 : אי-השוויון הוא -(x-1)(x-1)>1 . נפשט ונקבל (x-1)^2<-1 . הביטוי משמאל תמיד חיובי (בדקו!), לכן במקרה זה אין פתרון.

פתרון: x>2


  • \frac{|x|}{x}>1

נשים לב שלביטוי אין ערך ב- x=0 . אם x>0 נקבל \dfrac{x}{x}>1 וזה לא יתכן. אם x<0 נקבל \dfrac{-x}{x}>1 וגם זה לא יתכן.

פתרון: אף x לא מקיים את אי-השוויון


  • |x-1|>|x^2-1|

הביטוי בערך המוחלט הימני חיובי עבור x<-1 או x>1 .

x\le-1 : נקבל אי-שוויון -(x-1)>x^2-1 . נפשט ונקבל x^2+x-2<0 והפתרון של זה הוא -2<x<1 . סה"כ: -2<x\le-1

-1<x\le1 : נקבל אי-שוויון -(x-1)>-(x^2-1) ואחרי פישוט: x^2-x>0 . הפתרון הוא x<0 או x>1 לכן סה"כ: -1<x<0 .

x>1 : נקבל x-1>x^2-1 . נפשט ונקבל x(x-1)<0 והפתרון הוא 0<x<1 . לכן במקרה זה אין פתרון.

פתרון: -2<x<0


  • |x^2-4x-3|+|x-1|+|x-2|>2x

הביטוי הריבועי מתאפס ב- 2\pm\sqrt7 . נחלק למקרים:

x\le2-\sqrt7 : x<0 או x>8 לכן סה"כ x\le2-\sqrt7

2-\sqrt7<x\le1: -\sqrt6<x<\sqrt6 . לכן סה"כ: 2-\sqrt7<x\le1

1<x\le2 : 1-\sqrt5<x<1+\sqrt5 . לכן סה"כ: 1<x\le2

2<x\le2+\sqrt7 : 0<x<4 . לכן סה"כ: 2<x<4

x>2+\sqrt7 : x<2-\sqrt{10} או x>2+\sqrt{10} . לכן סה"כ: x>2+\sqrt{10}

פתרון: x<4 או x>2+\sqrt{10}

2

נגדיר שתי פונקציות

\begin{align}
f(x)&=\begin{cases}x^2&x>0\\0&x=0\\-x^2&x<0\end{cases}\\\\g(x)&=\begin{cases}x-1&x>1\\|x|+x&x\le1\end{cases}
\end{align}

מצא עבור אילו ערכי x מתקיימים אי-השוויונות הבאים:

  • g(x)\le0

נפריד למקרים:

x<0 : במקרה זה אי השוויון הוא -x + x <=0 והוא תמיד מתקיים

0 \leq x \leq 1 : אי השוויון הוא x+x<=0 והוא מתקיים עבור x<=0 לכן הפתרון הוא x=0

1 < x : אי השוויון הוא x-1\leq 0 לכן הפתרון הוא x\leq 1 ולכן אין פתרון

פתרון: x \leq 0


  • f(x+1)>0

f(x+1)=\begin{cases}(x+1)^2 & x>-1 \\ 0 & x=-1 \\ -(x+1)^2 & x<-1\end{cases}

נפריד למקרים:

x>-1 : אי השוויון הוא (x+1)^2 > 0 וריבוע של מספר הוא תמיד אי שלילי לכן זה מתקיים לכל x>-1

x=-1 : ערך הפונקציה הוא 0 ולכן זה לא פתרון

x<-1 : אי השוויון הוא -(x+1)^2 > 0 וזה לא מתקיים לאף ערך בתחום

פתרון: x > -1


  • g\big(f(x)\Big) \geq 0

נשים לב שמתקיים: g(x) \geq 0 לכל x:

x<0 : g(x)=0

0 \leq x \leq 1 : g(x) = 2x \geq 0

x > 1 : g(x) = x-1 \geq 0

לכן גם מתקיים g(f(x)) \geq 0 לכל x


  • f(x+1) +g(x-1) > x
f(x+1)=\begin{cases}(x+1)^2 & x>-1 \\ 0 & x=-1 \\ -(x+1)^2 & x<-1\end{cases}
g(x-1)=\begin{cases}x-2 & x>2 \\ 2x-2 & 1 \leq x \leq 2 \\ 0 & x < 1\end{cases}

x<-1 : f(x+1)+g(x-1)=-(x+1)^2>x . הפתרון הוא {-3-\sqrt{5} \over 2} < x< -1

x=-1 : f(x+1)+g(x-1)=0>-1 לכן זה פיתרון.

-1 < x < 1 : f(x+1)+g(x-1) = (x+1)^2>x . נכון לכל x.

1 \leq x \leq 2 : f(x+1) + g(x-1) = (x+1)^2+2x-2 > x . כל התחום הוא פתרון

2<x : f(x+1)+g(x-1)=(x+1)^2+x-2>x . גם כאן כל התחום הוא פתרון

פתרון: {-3-\sqrt{5} \over 2} < x


  • |g(x^2)-f(x)| < x
g(x^2)=\begin{cases}x^2-1 & x<-1 \vee 1<x \\ 2x^2 & -1 \leq x \leq 1 \end{cases}

x<-1 : |g(x^2)-f(x)|=|x^2-1+x^2|=|2x^2-1|<x . בגלל שאנחנו בתחום x<-1 נקבל שהביטוי בערך המוחלט תמיד חיובי ולכן ניתן להשמיט את הערך המוחלט ולקבל: 2x^2-1<x . לאי שוויון זה אין פתרון בתחום

-1 \leq x < 0 : נקבל |2x^2+x^2|=|3x^2|=3x^2<x ואין לזה פתרון בתחום

x = 0 : נציב ונקבל שזה לא פתרון

0 < x \leq 1  : נקבל |2x^2-x^2|=x^2<x והפתרון הוא 0<x<1

1<x : נקבל |x^2-1-x^2|=1<x והפתרון הוא כל התחום


פתרון: 0 < x < 1 או 1 < x