מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/1/פתרון 1

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

1

  • x^2+2x+1\leq 0

נבדוק מתי הביטוי באגף שמאל מתאפס: x^2+2x+1 = 0.

לפי נוסחה נקבל פתרון יחיד x=-1.

המקדם של x^2 חיובי (1) לכן הביטוי מתאפס ב-1 וחיובי מימינו ומשמאלו (ולכן אינו שלילי לאף x).

פתרון: x=-1


  • (1-x)(x+6)> 0

נבדוק מתי מתאפס. הביטוי הוא מכפלה של שני ביטויים ולכן הוא מתאפס כאשר כל אחד מהם מתאפס. לכן אגף שמאל מתאפס בx=1 ובx=-6.

אם נפתח סוגריים נקבל -x^2-5x+6 והמקדם של x^2 שלילי לכן הביטוי מקבל ערכים שליליים כשx<-6 וx>1 וערכים חיוביים כש-6<x<1

פתרון: -6<x<1


  • -3x^2 +6x - 1 \geq 0

מתי הביטוי מתאפס: -3x^2+6x-1=0? לפי נוסחה נקבל x={-6 \pm \sqrt{36-12} \over -6}=1 \pm {\sqrt{6} \over 3}

המקדם של x^2 שלילי לכן הערכים החיוביים מתקבלים בין הפתרונות שמצאנו.

פתרון: 1 - {\sqrt{6} \over 3} \leq x \leq 1 + {\sqrt{6} \over 3}


  • (x^2+1)(x^2-1)x^2 \leq 0

נפרק לשלושה ביטויים: x^2+1 , x^2-1 , x^2 , ונבדוק מתי כל אחד מהם חיובי ושלילי.

x^2+1 : ריבוע של מספר הוא תמיד אי-שלילי, ולכן בתוספת 1 הוא תמיד חיובי (למשוואה x^2=-1 אין פתרון ממשי)

x^2-1 : מתאפס בx= \pm 1. הביטוי שלילי ביניהם וחיובי בx<-1 או x>1

x^2 : מתאפס ב0 וחיובי אחרת.

קיבלנו מספר תחומים. נבדוק את סימן הביטוי בכל תחום לפי מכפלת הסימנים של הביטויים הקטנים:

x<-1 : הביטוי הראשון חיובי, השני חיובי והשלישי חיובי. לכן המכפלה גם חיובית

-1<x<0 : הביטוי הראשון חיובי, השני שלילי והשלישי חיובי. לכן המכפלה שלילית

0<x<1 : הביטוי הראשון חיובי, השני שלילי והשלישי חיובי. לכן המכפלה שלילית

1<x : הביטוי הראשון חיובי, השני חיובי והשלישי חיובי. לכן המכפלה חיובית

בנקודות x=0 , \pm 1 הביטוי מתאפס לכן גם נקודות אלה הן פתרונות לאי השוויון.

פתרון: -1 \leq x \leq 1


  • (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)\cdots (x-n)>0

כאשר n\in\mathbb{N}. שימו לב, רצוי לחלק למקרים אפשריים של n.

השאלה היא מתי מכפלה של n גורמים היא חיובית. התשובה היא כאשר מספר הגורמים השליליים הוא זוגי. כאשר x מספר שלם בין 1 לn, הביטוי מתאפס ולכן זה לא פיתרון.

לכן אנחנו מתעניינים בתחומים x < 1 , 1<x<2 , ... , n<x. בתחום האחרון, n<x , כל הגורמים חיוביים ולכן תחום זה הוא תמיד פתרון. נחלק למקרים:

n זוגי: אם x קטן מ1, כל הגורמים שליליים ולכן המכפלה כולה חיובית (כי n זוגי) ולכן זה פתרון. נשארנו עם התחומים מהצורה i<x<i+1 עבור i בין 1 לn-1. אם i זוגי אז יש עוד מספר זוגי של תחומים כאלה אחריו (כי n זוגי) ולכן המכפלה חיובית. אחרת, יש מספר אי זוגי של גורמים שליליים ולכן המכפלה שלילית.

לכן התשובה עבור n זוגי היא: x<1 , 2<x<3 , 4<x<6 , ... , 2i < x < 2i+1 , ... , n-2 < x < n-1 , n<x

עבור n אי זוגי נפתור בצורה דומה ונקבל: 1<x<2 , 3<x<4 , ... < 2i-1<x<2i , ... , n-2 < x < n-1, n < x



  • |x|\leq 7

נחלק למקרים: אם x \ geq 0 נקבל את אי השוויון |x|\leq 7 ולכן סה"כ הפתרונות של מקרה זה הם 0 \leq x \leq 7

אם x<0 נקבל -x \le 7 , לכן x \geq -7 וסה"כ הפתרונות הם -7 \leq x < 0

נאחד את הפתרונות של שני המקרים ונקבל את הפתרון

פתרון: -7 \leq x \leq 7


  • |2x-1|<7

נחלק למקרים. הביטוי הערך המוחלט מתאפס ב1 /over 2 לכן נתבונן במקרים:

x \geq {1 \over 2} : אי השוויון הוא 2x-1<7 לכן 2x<8 וx<4. התשובה היא {1 \over 2} \leq x < 4

x < {1 \over 2} : אי השוויון הוא -2x+1<7 לכן -2x<6 לכן x>-3. התשובה היא -3 <x < {1 \over 2}. נאחד את הפתרונות ונקבל:

פתרון: -3 < x < 4


  • (x-1)|x-1| > 1

נחלק למקרים:

x>1 : אי השוויון הוא (x-1)(x-1) > 1. נפשט ונקבל x^2-2x > 0. ביטוי זה חיובי עבור x<0 או x > 2 (בדקו!). לכן הפתרון הוא x>2

x<1 : אי השוויון הוא -(x-1)(x-1)>1. נפשט ונקבל -x^2 +2x -2 > 0 ביטוי זה אף פעם לא חיובי (בדקו!), לכן במקרה זה אין פתרון.

פתרון: x>2


  • \frac{|x|}{x} > 1

נשים לב שלביטוי אין ערך בx=0. אם x>0 נקבל {x\over x} > 1 וזה לא יתכן. אם x<0 נקבל {-x \over x} >1 וגם זה לא יתכן.

פתרון: אף x לא מקיים את אי השוויון


  • |x-1|>|x^2-1|

הביטוי בערך המוחלט הימני חיובי עבור x<-1 או x>1.

x \leq -1 : נקבל אי שוויון -(x-1) > x^2 - 1 . נפשט ונקבל x^2 +x -2 < 0 והפתרון של זה הוא -2 < x < 1 . סה"כ: -2 < x \leq -1

-1 < x \leq 1 : נקבל אי שוויון -(x-1) > -(x^2-1) ואחרי פישוט: x^2 -x > 0 . הפתרון הוא x<0 או x > 1 לכן סה"כ: -1 < x < 0 .

x > 1 : נקבל x-1 > x^2 - 1 . נפשט: x^2 -x < 0 והפתרון הוא 0 < x < 1 . לכן במקרה זה אין פתרון.

פתרון: -2 < x 0


  • |x^2-4x-3| + |x-1| + |x-2| > 2x

הביטוי הריבועי מתאפס ב 2 \pm \sqrt{7} . נחלק למקרים:

x \leq 2-\sqrt{7} : x < 0 או x > 8 לכן סה"כ x \leq 2 - \sqrt{7}

2-\sqrt{7} < x \leq 1: -\sqrt{6} < x < \sqrt{6} . לכן סה"כ: 2-\sqrt{7}<x\leq 1

1 < x \leq 2 : 1-\sqrt{5}<x<1+\sqrt{5} . לכן סה"כ: 1 < x \leq 2

2 < x \leq 2 + \sqrt{7} : 0<x<4 . לכן סה"כ: 2 < x < 4

x > 2+\sqrt{7} : x<2-\sqrt{10} או x>2+\sqrt{10} . לכן סה"כ: x>2+\sqrt{10}

פתרון: x<4 או x>2+\sqrt{10}