מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/1/פתרון 1

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

1

  • x^2+2x+1\le0

נבדוק מתי הביטוי באגף שמאל מתאפס: x^2+2x+1=0 .

לפי נוסחא נקבל פתרון יחיד x=-1 .

המקדם של x^2 חיובי (1) לכן הביטוי מתאפס ב- x=-1 וחיובי מימינו ומשמאלו (ולכן אינו שלילי לאף x).

פתרון: x=-1


  • (1-x)(x+6)>0

נבדוק מתי מתאפס. הביטוי הוא מכפלה של שני ביטויים ולכן הוא מתאפס כאשר כל אחד מהם מתאפס. לכן אגף שמאל מתאפס ב- x=1,-6 .

אם נפתח סוגריים נקבל -x^2-5x+6 והמקדם של x^2 שלילי לכן הביטוי מקבל ערכים שליליים כאשר x<-6 או x>1 , וערכים חיוביים כאשר -6<x<1 .

פתרון: -6<x<1


  • -3x^2+6x-1\ge0

נבדוק מתי מתאפס. לפי נוסחא נקבל x=\dfrac{-6\pm\sqrt{36-12}}{-6}=1\pm\dfrac{\sqrt6}{3}

המקדם של x^2 שלילי לכן הערכים החיוביים מתקבלים בין הפתרונות שמצאנו.

פתרון: 1-\dfrac{\sqrt6}{3}\le x\le1+\dfrac{\sqrt6}{3}


  • (x^2+1)(x^2-1)x^2 \leq 0

נפרק לשלושה ביטויים: x^2+1 , x^2-1 , x^2 , ונבדוק מתי כל אחד מהם חיובי ושלילי.

x^2+1 : ריבוע של מספר הוא תמיד אי-שלילי, ולכן בתוספת 1 הוא תמיד חיובי (למשוואה x^2=-1 אין פתרון ממשי)

x^2-1 : מתאפס בx= \pm 1. הביטוי שלילי ביניהם וחיובי בx<-1 או x>1

x^2 : מתאפס ב0 וחיובי אחרת.

קיבלנו מספר תחומים. נבדוק את סימן הביטוי בכל תחום לפי מכפלת הסימנים של הביטויים הקטנים:

x<-1 : הביטוי הראשון חיובי, השני חיובי והשלישי חיובי. לכן המכפלה גם חיובית

-1<x<0 : הביטוי הראשון חיובי, השני שלילי והשלישי חיובי. לכן המכפלה שלילית

0<x<1 : הביטוי הראשון חיובי, השני שלילי והשלישי חיובי. לכן המכפלה שלילית

1<x : הביטוי הראשון חיובי, השני חיובי והשלישי חיובי. לכן המכפלה חיובית

בנקודות x=0 , \pm 1 הביטוי מתאפס לכן גם נקודות אלה הן פתרונות לאי השוויון.

פתרון: -1 \leq x \leq 1


  • (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)\cdots (x-n)>0

כאשר n\in\mathbb{N}. שימו לב, רצוי לחלק למקרים אפשריים של n.

השאלה היא מתי מכפלה של n גורמים היא חיובית. התשובה היא כאשר מספר הגורמים השליליים הוא זוגי. כאשר x מספר שלם בין 1 לn, הביטוי מתאפס ולכן זה לא פיתרון.

לכן אנחנו מתעניינים בתחומים x < 1 , 1<x<2 , ... , n<x. בתחום האחרון, n<x , כל הגורמים חיוביים ולכן תחום זה הוא תמיד פתרון. נחלק למקרים:

n זוגי: אם x קטן מ1, כל הגורמים שליליים ולכן המכפלה כולה חיובית (כי n זוגי) ולכן זה פתרון. נשארנו עם התחומים מהצורה i<x<i+1 עבור i בין 1 לn-1. אם i זוגי אז יש עוד מספר זוגי של תחומים כאלה אחריו (כי n זוגי) ולכן המכפלה חיובית. אחרת, יש מספר אי זוגי של גורמים שליליים ולכן המכפלה שלילית.

לכן התשובה עבור n זוגי היא: x<1 , 2<x<3 , 4<x<6 , ... , 2i < x < 2i+1 , ... , n-2 < x < n-1 , n<x

עבור n אי זוגי נפתור בצורה דומה ונקבל: 1<x<2 , 3<x<4 , ... < 2i-1<x<2i , ... , n-2 < x < n-1, n < x


  • |x|\leq 7

נחלק למקרים: אם x \geq 0 נקבל את אי השוויון |x|\leq 7 ולכן סה"כ הפתרונות של מקרה זה הם 0 \leq x \leq 7

אם x<0 נקבל -x \le 7 , לכן x \geq -7 וסה"כ הפתרונות הם -7 \leq x < 0

נאחד את הפתרונות של שני המקרים ונקבל את הפתרון

פתרון: -7 \leq x \leq 7


  • |2x-1|<7

נחלק למקרים. הביטוי הערך המוחלט מתאפס ב1 /over 2 לכן נתבונן במקרים:

x \geq {1 \over 2} : אי השוויון הוא 2x-1<7 לכן 2x<8 וx<4. התשובה היא {1 \over 2} \leq x < 4

x < {1 \over 2} : אי השוויון הוא -2x+1<7 לכן -2x<6 לכן x>-3. התשובה היא -3 <x < {1 \over 2}. נאחד את הפתרונות ונקבל:

פתרון: -3 < x < 4


  • (x-1)|x-1| > 1

נחלק למקרים:

x>1 : אי השוויון הוא (x-1)(x-1) > 1. נפשט ונקבל x^2-2x > 0. ביטוי זה חיובי עבור x<0 או x > 2 (בדקו!). לכן הפתרון הוא x>2

x<1 : אי השוויון הוא -(x-1)(x-1)>1. נפשט ונקבל -x^2 +2x -2 > 0 ביטוי זה אף פעם לא חיובי (בדקו!), לכן במקרה זה אין פתרון.

פתרון: x>2


  • \frac{|x|}{x} > 1

נשים לב שלביטוי אין ערך בx=0. אם x>0 נקבל {x\over x} > 1 וזה לא יתכן. אם x<0 נקבל {-x \over x} >1 וגם זה לא יתכן.

פתרון: אף x לא מקיים את אי השוויון


  • |x-1|>|x^2-1|

הביטוי בערך המוחלט הימני חיובי עבור x<-1 או x>1.

x \leq -1 : נקבל אי שוויון -(x-1) > x^2 - 1 . נפשט ונקבל x^2 +x -2 < 0 והפתרון של זה הוא -2 < x < 1 . סה"כ: -2 < x \leq -1

-1 < x \leq 1 : נקבל אי שוויון -(x-1) > -(x^2-1) ואחרי פישוט: x^2 -x > 0 . הפתרון הוא x<0 או x > 1 לכן סה"כ: -1 < x < 0 .

x > 1 : נקבל x-1 > x^2 - 1 . נפשט: x^2 -x < 0 והפתרון הוא 0 < x < 1 . לכן במקרה זה אין פתרון.

פתרון: -2 < x < 0


  • |x^2-4x-3| + |x-1| + |x-2| > 2x

הביטוי הריבועי מתאפס ב 2 \pm \sqrt{7} . נחלק למקרים:

x \leq 2-\sqrt{7} : x < 0 או x > 8 לכן סה"כ x \leq 2 - \sqrt{7}

2-\sqrt{7} < x \leq 1: -\sqrt{6} < x < \sqrt{6} . לכן סה"כ: 2-\sqrt{7}<x\leq 1

1 < x \leq 2 : 1-\sqrt{5}<x<1+\sqrt{5} . לכן סה"כ: 1 < x \leq 2

2 < x \leq 2 + \sqrt{7} : 0<x<4 . לכן סה"כ: 2 < x < 4

x > 2+\sqrt{7} : x<2-\sqrt{10} או x>2+\sqrt{10} . לכן סה"כ: x>2+\sqrt{10}

פתרון: x<4 או x>2+\sqrt{10}

2

נגדיר שתי פונקציות

f(x)=\begin{cases}x^2 & x>0 \\ 0 & x=0 \\ -x^2 & x<0\end{cases}


g(x)=\begin{cases}x-1 & x>1 \\ |x|+x & x \leq 1\end{cases}


מצא עבור אילו ערכי x מתקיימים אי השיוויונים הבאים:


  • g(x)\leq 0

נפריד למקרים:

x<0 : במקרה זה אי השוויון הוא -x + x <=0 והוא תמיד מתקיים

0 \leq x \leq 1 : אי השוויון הוא x+x<=0 והוא מתקיים עבור x<=0 לכן הפתרון הוא x=0

1 < x : אי השוויון הוא x-1\leq 0 לכן הפתרון הוא x\leq 1 ולכן אין פתרון

פתרון: x \leq 0


  • f(x+1)>0

f(x+1)=\begin{cases}(x+1)^2 & x>-1 \\ 0 & x=-1 \\ -(x+1)^2 & x<-1\end{cases}

נפריד למקרים:

x>-1 : אי השוויון הוא (x+1)^2 > 0 וריבוע של מספר הוא תמיד אי שלילי לכן זה מתקיים לכל x>-1

x=-1 : ערך הפונקציה הוא 0 ולכן זה לא פתרון

x<-1 : אי השוויון הוא -(x+1)^2 > 0 וזה לא מתקיים לאף ערך בתחום

פתרון: x > -1


  • g\big(f(x)\Big) \geq 0

נשים לב שמתקיים: g(x) \geq 0 לכל x:

x<0 : g(x)=0

0 \leq x \leq 1 : g(x) = 2x \geq 0

x > 1 : g(x) = x-1 \geq 0

לכן גם מתקיים g(f(x)) \geq 0 לכל x


  • f(x+1) +g(x-1) > x
f(x+1)=\begin{cases}(x+1)^2 & x>-1 \\ 0 & x=-1 \\ -(x+1)^2 & x<-1\end{cases}
g(x-1)=\begin{cases}x-2 & x>2 \\ 2x-2 & 1 \leq x \leq 2 \\ 0 & x < 1\end{cases}

x<-1 : f(x+1)+g(x-1)=-(x+1)^2>x . הפתרון הוא {-3-\sqrt{5} \over 2} < x< -1

x=-1 : f(x+1)+g(x-1)=0>-1 לכן זה פיתרון.

-1 < x < 1 : f(x+1)+g(x-1) = (x+1)^2>x . נכון לכל x.

1 \leq x \leq 2 : f(x+1) + g(x-1) = (x+1)^2+2x-2 > x . כל התחום הוא פתרון

2<x : f(x+1)+g(x-1)=(x+1)^2+x-2>x . גם כאן כל התחום הוא פתרון

פתרון: {-3-\sqrt{5} \over 2} < x


  • |g(x^2)-f(x)| < x
g(x^2)=\begin{cases}x^2-1 & x<-1 \vee 1<x \\ 2x^2 & -1 \leq x \leq 1 \end{cases}

x<-1 : |g(x^2)-f(x)|=|x^2-1+x^2|=|2x^2-1|<x . בגלל שאנחנו בתחום x<-1 נקבל שהביטוי בערך המוחלט תמיד חיובי ולכן ניתן להשמיט את הערך המוחלט ולקבל: 2x^2-1<x . לאי שוויון זה אין פתרון בתחום

-1 \leq x < 0 : נקבל |2x^2+x^2|=|3x^2|=3x^2<x ואין לזה פתרון בתחום

x = 0 : נציב ונקבל שזה לא פתרון

0 < x \leq 1  : נקבל |2x^2-x^2|=x^2<x והפתרון הוא 0<x<1

1<x : נקבל |x^2-1-x^2|=1<x והפתרון הוא כל התחום


פתרון: 0 < x < 1 או 1 < x