מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/1/פתרון 1

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

1

  • x^2+2x+1\le0

נבדוק מתי הביטוי באגף שמאל מתאפס.

לפי נוסחא נקבל פתרון יחיד x=-1 .

המקדם של x^2 חיובי (1) לכן הביטוי מתאפס ב- x=-1 וחיובי מימינו ומשמאלו (ולכן אינו שלילי לאף x).

פתרון: x=-1


  • (1-x)(x+6)>0

נבדוק מתי מתאפס. הביטוי הוא מכפלה של שני ביטויים ולכן הוא מתאפס כאשר כל אחד מהם מתאפס. לכן אגף שמאל מתאפס ב- x=1,-6 .

אם נפתח סוגריים נקבל -x^2-5x+6 והמקדם של x^2 שלילי לכן הביטוי מקבל ערכים שליליים כאשר x<-6 או x>1 , וערכים חיוביים כאשר -6<x<1 .

פתרון: -6<x<1


  • -3x^2+6x-1\ge0

נבדוק מתי מתאפס. לפי נוסחא נקבל x=\dfrac{-6\pm\sqrt{36-12}}{-6}=1\pm\dfrac{\sqrt6}{3}

המקדם של x^2 שלילי לכן הערכים החיוביים מתקבלים בין הפתרונות שמצאנו.

פתרון: 1-\dfrac{\sqrt6}{3}\le x\le1+\dfrac{\sqrt6}{3}


  • x^2(x^2-1)(x^2+1)\le0

נפרק לשלושה ביטויים: x^2,x^2+1,x^2-1 ונבדוק מתי כל אחד מהם חיובי ושלילי.

x^2+1 : ריבוע של מספר הוא תמיד אי-שלילי, ולכן בתוספת 1 הוא תמיד חיובי (למשוואה x^2=-1 אין פתרון ממשי)

x^2-1 : מתאפס ב- x=\pm1 . הביטוי שלילי ביניהם וחיובי כאשר x<-1 או x>1

x^2 : מתאפס ב-0 וחיובי אחרת.

קיבלנו מספר תחומים. נבדוק את סימן הביטוי בכל תחום לפי מכפלת הסימנים של הביטויים הקטנים:

x<-1 : הביטוי הראשון חיובי, השני חיובי והשלישי חיובי. לכן המכפלה גם חיובית

-1<x<0 : הביטוי הראשון חיובי, השני שלילי והשלישי חיובי. לכן המכפלה שלילית

0<x<1 : הביטוי הראשון חיובי, השני שלילי והשלישי חיובי. לכן המכפלה שלילית

1<x : הביטוי הראשון חיובי, השני חיובי והשלישי חיובי. לכן המכפלה חיובית

בנקודות x=0,\pm1 הביטוי מתאפס לכן גם נקודות אלה הן פתרונות לאי-השוויון.

פתרון: -1\le x\le1


  • (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)\cdots(x-n)>0

כאשר n\in\N . שימו לב, רצוי לחלק למקרים אפשריים של n .

השאלה היא מתי מכפלה של n גורמים היא חיובית. התשובה היא כאשר מספר הגורמים השליליים הוא זוגי. כאשר x מספר שלם בין 1 ל-n , הביטוי מתאפס ולכן זה איננו פתרון.

לכן אנחנו מתעניינים בתחומים x<1,1<x<2,\ldots,n<x . בתחום האחרון n<x כל הגורמים חיוביים ולכן תחום זה הוא תמיד פתרון. נחלק למקרים:

n זוגי: אם x<1 כל הגורמים שליליים ולכן המכפלה כולה חיובית (כי n זוגי) ולכן זה פתרון. נשארנו עם התחומים מהצורה k<x<k+1 עבור 1\le k\le n-1 . אם k זוגי אז יש עוד מספר זוגי של תחומים כאלה אחריו (כי n זוגי) ולכן המכפלה חיובית. אחרת, יש מספר אי-זוגי של גורמים שליליים ולכן המכפלה שלילית.

לכן התשובה עבור n זוגי היא:

x<1,2<x<3,4<x<6,\ldots,2k<x<2k+1,\ldots,n-2<x<n-1,n<x

עבור n אי-זוגי נפתור בצורה דומה ונקבל:

1<x<2,3<x<4,\ldots,2k-1<x<2k,\ldots,n-2<x<n-1,n<x


  • |x|\le7

נחלק למקרים: אם x\ge0 נקבל את אי-השוויון |x|\le7 ולכן סה"כ הפתרונות של מקרה זה הם 0\le x\le7

אם x<0 נקבל x\ge-7 וסה"כ הפתרונות הם -7\le x<0

נאחד את הפתרונות של שני המקרים ונקבל את הפתרון

-7\le x\le7


  • |2x-1|<7

נחלק למקרים. הביטוי הערך המוחלט מתאפס ב- x=\tfrac12 לכן נתבונן במקרים:

x\ge\tfrac12 : אי-השוויון הוא 2x-1<7 לכן x<4 . התשובה היא \tfrac12\le x<4

x<\tfrac12 : אי-השוויון הוא -2x+1<7 לכן x>-3 . התשובה היא -3<x<\tfrac12 . נאחד את הפתרונות ונקבל:

פתרון: -3<x<4


  • (x-1)|x-1|>1

נחלק למקרים:

x>1 : אי-השוויון הוא (x-1)(x-1)>1 . נפשט ונקבל x(x-2)>0 . ביטוי זה חיובי כאשר x<0 או x>2 (בדקו!). לכן הפתרון הוא x>2

x<1 : אי-השוויון הוא -(x-1)(x-1)>1 . נפשט ונקבל (x-1)^2<-1 . הביטוי משמאל תמיד חיובי (בדקו!), לכן במקרה זה אין פתרון.

פתרון: x>2


  • \frac{|x|}{x}>1

נשים לב שלביטוי אין ערך ב- x=0 . אם x>0 נקבל \dfrac{x}{x}>1 וזה לא יתכן. אם x<0 נקבל \dfrac{-x}{x}>1 וגם זה לא יתכן.

פתרון: אף x לא מקיים את אי-השוויון


  • |x-1|>|x^2-1|

הביטוי בערך המוחלט הימני חיובי עבור x<-1 או x>1 .

x\le-1 : נקבל אי-שוויון -(x-1)>x^2-1 . נפשט ונקבל x^2+x-2<0 והפתרון של זה הוא -2<x<1 . סה"כ: -2<x\le-1

-1<x\le1 : נקבל אי-שוויון -(x-1)>-(x^2-1) ואחרי פישוט: x^2-x>0 . הפתרון הוא x<0 או x>1 לכן סה"כ: -1<x<0 .

x>1 : נקבל x-1>x^2-1 . נפשט ונקבל x(x-1)<0 והפתרון הוא 0<x<1 . לכן במקרה זה אין פתרון.

פתרון: -2<x<0


  • |x^2-4x-3|+|x-1|+|x-2|>2x

הביטוי הריבועי מתאפס ב- 2\pm\sqrt7 . נחלק למקרים:

x\le2-\sqrt7 : x<0 או x>8 לכן סה"כ x\le2-\sqrt7

2-\sqrt7<x\le1: -\sqrt6<x<\sqrt6 . לכן סה"כ: 2-\sqrt7<x\le1

1<x\le2 : 1-\sqrt5<x<1+\sqrt5 . לכן סה"כ: 1<x\le2

2<x\le2+\sqrt7 : 0<x<4 . לכן סה"כ: 2<x<4

x>2+\sqrt7 : x<2-\sqrt{10} או x>2+\sqrt{10} . לכן סה"כ: x>2+\sqrt{10}

פתרון: x<4 או x>2+\sqrt{10}

2

נגדיר שתי פונקציות

\begin{align}
f(x)&=\begin{cases}x^2&x>0\\0&x=0\\-x^2&x<0\end{cases}\\\\g(x)&=\begin{cases}x-1&x>1\\|x|+x&x\le1\end{cases}
\end{align}

מצא עבור אילו ערכי x מתקיימים אי-השוויונות הבאים:

  • g(x)\le0

נפריד למקרים:

x<0 : במקרה זה אי השוויון הוא -x + x <=0 והוא תמיד מתקיים

0 \leq x \leq 1 : אי השוויון הוא x+x<=0 והוא מתקיים עבור x<=0 לכן הפתרון הוא x=0

1 < x : אי השוויון הוא x-1\leq 0 לכן הפתרון הוא x\leq 1 ולכן אין פתרון

פתרון: x \leq 0


  • f(x+1)>0

f(x+1)=\begin{cases}(x+1)^2 & x>-1 \\ 0 & x=-1 \\ -(x+1)^2 & x<-1\end{cases}

נפריד למקרים:

x>-1 : אי השוויון הוא (x+1)^2 > 0 וריבוע של מספר הוא תמיד אי שלילי לכן זה מתקיים לכל x>-1

x=-1 : ערך הפונקציה הוא 0 ולכן זה לא פתרון

x<-1 : אי השוויון הוא -(x+1)^2 > 0 וזה לא מתקיים לאף ערך בתחום

פתרון: x > -1


  • g\big(f(x)\Big) \geq 0

נשים לב שמתקיים: g(x) \geq 0 לכל x:

x<0 : g(x)=0

0 \leq x \leq 1 : g(x) = 2x \geq 0

x > 1 : g(x) = x-1 \geq 0

לכן גם מתקיים g(f(x)) \geq 0 לכל x


  • f(x+1) +g(x-1) > x
f(x+1)=\begin{cases}(x+1)^2 & x>-1 \\ 0 & x=-1 \\ -(x+1)^2 & x<-1\end{cases}
g(x-1)=\begin{cases}x-2 & x>2 \\ 2x-2 & 1 \leq x \leq 2 \\ 0 & x < 1\end{cases}

x<-1 : f(x+1)+g(x-1)=-(x+1)^2>x . הפתרון הוא {-3-\sqrt{5} \over 2} < x< -1

x=-1 : f(x+1)+g(x-1)=0>-1 לכן זה פיתרון.

-1 < x < 1 : f(x+1)+g(x-1) = (x+1)^2>x . נכון לכל x.

1 \leq x \leq 2 : f(x+1) + g(x-1) = (x+1)^2+2x-2 > x . כל התחום הוא פתרון

2<x : f(x+1)+g(x-1)=(x+1)^2+x-2>x . גם כאן כל התחום הוא פתרון

פתרון: {-3-\sqrt{5} \over 2} < x


  • |g(x^2)-f(x)| < x
g(x^2)=\begin{cases}x^2-1 & x<-1 \vee 1<x \\ 2x^2 & -1 \leq x \leq 1 \end{cases}

x<-1 : |g(x^2)-f(x)|=|x^2-1+x^2|=|2x^2-1|<x . בגלל שאנחנו בתחום x<-1 נקבל שהביטוי בערך המוחלט תמיד חיובי ולכן ניתן להשמיט את הערך המוחלט ולקבל: 2x^2-1<x . לאי שוויון זה אין פתרון בתחום

-1 \leq x < 0 : נקבל |2x^2+x^2|=|3x^2|=3x^2<x ואין לזה פתרון בתחום

x = 0 : נציב ונקבל שזה לא פתרון

0 < x \leq 1  : נקבל |2x^2-x^2|=x^2<x והפתרון הוא 0<x<1

1<x : נקבל |x^2-1-x^2|=1<x והפתרון הוא כל התחום


פתרון: 0 < x < 1 או 1 < x