שינויים
/* 2 */
הפתרונות מתקבלים כאשר נציב <math>k=0...4</math>
==2==
*מצא את ההיטל של הוקטור <math>(1,2)</math> על הישר הנפרש על ידי הוקטור <math>(2,2)</math>
נסמן את הוקטור הרצוי ב<math>t(2,2)</math>. ההפרש בין וקטור זה לבין <math>(1,2)</math> צריך להיות מאונך ל<math>(2,2)</math> לכן נקבל:
<math>0 = (2,2) \cdot ((1,2)-t(2,2)) = (2,2) \cdot (1-2t,2-2t) = 2-4t+4-4t = 6-8t</math>
נקבל <math>t=\frac{3}{4}</math> ואז הוקטור הוא <math>(\frac{3}{2},\frac{3}{2})</math>
*מצא וקטור המתחיל בראשית בצירים ומאונך לישר שמשוואתו <math>3x-1=y</math>
נסדר את המשוואה לצורה <math>3x-y=1</math>. לפי המקדמים נקבל שהוקטור המאונך הוא <math>(3,-1)</math>.
*מצא וקטור מאונך למישור הנפרש על ידי שני הוקטורים <math>(1,2,3),(1,4,5)</math>
נסמן ב<math>(x,y,z)</math>. הוקטור מאונך לשני הוקטורים הנתונים לכן מתקיים: <math>x+2y+3z=x+4y+5z=0</math>.
נבחר <math>x=1</math> ונקבל <math>y=1,z=-1</math>. לכן התשובה היא <math>(1,1,-1)</math>
*מצא וקטור מאורך אחד, בכיוון הוקטור <math>(1,2,2)</math>
נסמן ב<math>t(1,2,2)</math>. נחשב את האורך:
<math>1=\sqrt{(t)^2+(2t)^2+(2t)^2}=\sqrt{9t^2}=3t</math>. לכן <math>t=\frac{1}{3}</math> לכן הוקטור הוא: <math>(\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3})</math>
*מצא נוסחא כללית לוקטור מאורך אחד בכיוון הוקטור <math>u</math>
נסמן את הוקטור הרצוי ב<math>t \cdot u</math>. נחשב את האורך: <math>1=|t \cdot u| = t \cdot |u|</math>.
לכן <math>t=\frac{1}{|u|}</math> לכן הוקטור הרצוי הוא <math>\frac{1}{|u|} \cdot u</math>
*מצא את משוואת המישור המאונך לוקטור <math>(1,-1,5)</math> ועובר בנקודה <math>(1,1,1)</math>
כל מישור המאונך לוקטור <math>(1,-1,5)</math> הוא מהצורה <math>x-y+5z=D</math>. נציב את הוקטור <math>(1,1,1)</math> ונקבל:
<math>D=5</math>. לכן המישור הרצוי הוא <math>x-y+5z=5</math>.
*מצא את כל הוקטורים מאורך אחד אשר הזוית בינם לבין הוקטור <math>(1,4)</math> הינה <math>\frac{\pi}{3}</math>. כמה כאלה יש?
נסמן את הוקטור ב<math>(x,y)</math>. לפי הנוסחה לזווית בין וקטורים:
<math>cos(\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}=\frac{(x,y)(1,4)}{1\cdot |(1,4)|}=\frac{x+4y}{\sqrt{17}}</math>
נבודד את x: <math>x=-4y+\sqrt{17} /2</math>. ידוע שאורך הוקטור 1 לכן: <math>1=(-4y+\sqrt{17}/2)^2+y^2=17y^2-4\sqrt{17}y+17/4</math>
יש שני פתרונות: <math>y=\frac{4\pm \sqrt{3}}{2\sqrt{17}}</math>. נמצא את הערכים המתאימים של x:
<math>(\frac{1+4\sqrt{3}}{2\sqrt{17}},\frac{4-\sqrt{3}}{2\sqrt{17}})</math>
<math>(\frac{1-4\sqrt{3}}{2\sqrt{17}},\frac{4+\sqrt{3}}{2\sqrt{17}})</math>
*הוכח עבור וקטורים במישור כי מתקיים אי השיוויון <math>u\cdot v \leq |u||v|</math> (ישירות לפי ההגדרה של מכפלה סקלרית ואורך וקטור).
['''רמז''': השתמש בזהות הידועה <math>(a-b)^2 = a^2+b^2-2ab</math>]
ניעזר ברמז: <math>0 \leq (a-b)^2 = a^2+b^2-2ab</math> לכן לכל a,b ממשיים מתקיים: <math>2ab \leq a^2+b^2</math>.
נפתח את הביטוי <math>|u \cdot v|^2</math>:
<math>|u \cdot v|^2 = |(u_1,u_2)(v_1,v_2)|^2=|(u_1v_1+u_2v_2)|^2=u_1^2v_1^2+u_2^2v_2^2+2u_1u_2v_1v_2</math>
נסמן <math>a=u_1v_2,b=u_2v_1</math> ולפי הרמז נקבל:
<math>u_1^2v_1^2+u_2^2v_2^2+2u_1u_2v_1v_2 \leq u_1^2v_1^2+u_2^2v_2^2+u_1^2v_2^2+u_2^2v_1^2=(u_1^2+u_2^2)(v_1^2+v_2^2)=|u|^2|v|^2</math>
סה"כ קיבלנו: <math>|u \cdot v|^2 \leq |u|^2|v|^2</math>. נוציא שורש משני האגפים ונקבל: <math>|u \cdot v| \leq |u| \cdot |v|</math>
[http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%90%D7%99-%D7%A9%D7%95%D7%95%D7%99%D7%95%D7%9F_%D7%A7%D7%95%D7%A9%D7%99-%D7%A9%D7%95%D7%95%D7%A8%D7%A5 אי שוויון קושי-שוורץ]
