*מצא את כל הוקטורים מאורך אחד אשר הזוית בינם לבין הוקטור <math>(1,4)</math> הינה <math>\frac{\pi}{3}</math>. כמה כאלה יש?
נסמן את הוקטור ב<math>(x,y)</math>. לפי הנוסחה לזווית בין וקטורים:
<math>cos(\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}=\frac{(x,y)(1,4)}{1\cdot |(1,4)|}=\frac{x+4y}{\sqrt{17}}</math>
נבודד את x: <math>x=-4y+\sqrt{17} /2</math>. ידוע שאורך הוקטור 1 לכן: <math>1=(-4y+\sqrt{17}/2)^2+y^2=17y^2-4\sqrt{17}y+17/4</math>
יש שני פתרונות: <math>y=\frac{4\pm \sqrt{3}}{2\sqrt{17}}</math>. נמצא את הערכים המתאימים של x:
<math>(\frac{1+4\sqrt{3}}{2\sqrt{17}},\frac{4-\sqrt{3}}{2\sqrt{17}})</math>
<math>(\frac{1-4\sqrt{3}}{2\sqrt{17}},\frac{4+\sqrt{3}}{2\sqrt{17}})</math>
['''רמז''': השתמש בזהות הידועה <math>(a-b)^2 = a^2+b^2-2ab</math>]
ניעזר ברמז: <math>0 \leq (a-b)^2 = a^2+b^2-2ab</math> לכן לכל a,b ממשיים מתקיים: <math>2ab \leq a^2+b^2</math>.
נפתח את הביטוי <math>|u \cdot v|^2</math>:
<math>|u \cdot v|^2 = |(u_1,u_2)(v_1,v_2)|^2=|(u_1v_1+u_2v_2)|^2=u_1^2v_1^2+u_2^2v_2^2+2u_1u_2v_1v_2</math>
נסמן <math>a=u_1v_2,b=u_2v_1</math> ולפי הרמז נקבל:
<math>u_1^2v_1^2+u_2^2v_2^2+2u_1u_2v_1v_2 \leq u_1^2v_1^2+u_2^2v_2^2+u_1^2v_2^2+u_2^2v_1^2=(u_1^2+u_2^2)(v_1^2+v_2^2)=|u|^2|v|^2</math>
סה"כ קיבלנו: <math>|u \cdot v|^2 \leq |u|^2|v|^2</math>. נוציא שורש משני האגפים ונקבל: <math>|u \cdot v| \leq |u| \cdot |v|</math>
[http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%90%D7%99-%D7%A9%D7%95%D7%95%D7%99%D7%95%D7%9F_%D7%A7%D7%95%D7%A9%D7%99-%D7%A9%D7%95%D7%95%D7%A8%D7%A5 אי שוויון קושי-שוורץ]