==מכפלה פנימית מושרית==
אנו נוכיח שכל נורמה המקיימת את כלל המקבילית היא נורמה מושרית ממכפלה פנימית. יתר על כן, נראה שנורמה לא יכול להיות מושרית משתי מכפלות פנימיות אחרות, אלא אחת בלבד ונראה כיצד ניתן לחשב את המכפלה הפנימית הזו באמצעות הנורמה בלבד.
כלומר נבנה מכפלה פנימית הנובעת מן הנורמה (מכפלה פנימית מושרית), כך שהנורמה היא הנורמה המושרית ממכפלה פנימית זו (לא מבלבל בכלל).
===דיון מקדים===
מכפלה פנימית, אמורה (לכאורה) לייצר שילוב של אורך וזוית, ולא מפתיע שניתן ליצור ממנה פונקציה המודדת אורך (הנורמה המושרית).
אך האם מתוך ידע על האורך בלבד ניתן גם לשחזר את הזוית? מסתבר שכן!
משפט הקוסינוסים במשולש שנוצר מהוקטורים <math>x,y</math> אומר כי:
:<math>||x-y||^2 =||x||^2+||y||^2 -2||x||||y||\cos(\theta)</math>
המכפלה הפנימית הסטנדרטית מעל הממשיים מקיימת כי:
:<math>\langle x,y\rangle = ||x||||y||\cos(\theta)</math>
ולכן סה"כ נקבל כי
:<math>\langle x,y\rangle = \frac{||x||^2 +||y||^2 -||x-y||^2}{2}</math>
כלומר אכן הצלחנו לתאר את פונקצית המכפלה הפנימית באמצעות פונקצית הנורמה בלבד. האם זה מתקיים גם במקרה הכללי ולא רק בסטנדרטי?
===הזהויות הפולריות===