שינויים
/* הזהויות הפולריות */
<math> Re \left(\langle x,y \rangle\right) = \frac{||x||^2 +||y||^2 -||x-y||^2}{2}</math>
מעל הממשיים, זו בדיוק הנוסחא שקיבלנו באמצעות משפט הקוסינוסים!(זו נקראת הזהות הפולרית הממשית).
מעל המרוכבים עלינו למצוא גם את החלק המדומה של המכפלה הפנימית על מנת לקבל את הזהות הפולרית הכללית.
כעת, נשים לב כי
<math>Re \left(\langle x,iy \rangle\right)=Re \left(\overline{i}\langle x,y \rangle\right) =Re \left(-i\langle x,y \rangle\right)=Im \left(\langle x,y \rangle\right)</math>
שכן לכל מספר מרוכב מתקיים כי <math>Re(i\cdot z) = -Im (z)</math>
ביחד אנחנו מוכנים כעת להסיק את הזהות הפולרית:
<math>\langle x,y\rangle = Re\left(\langle x,y \rangle\right) + i \cdot Im\left(\langle x,y \rangle\right) = </math>
<math> =Re\left(\langle x,y \rangle\right) + i \cdot Re\left(\langle x,iy \rangle\right) </math>
וסה"כ '''הזהות הפולרית''' היא
:<math>\langle x,y\rangle=\frac{||x||^2 +||y||^2 -||x-y||^2}{2} + i\cdot \frac{||x||^2 +||y||^2 -||x-iy||^2}{2}</math>
שימו לב כי <math>||iy||^2=(|i|\cdot ||y||)^2 = ||y||^2</math>
עד כה אנו למדים כי מתוך הנורמה המושרית המכפלה הפנימית נקבעת באופן יחיד (הן בממשיים והן במרוכבים).
אך נותר לנו להוכיח כי המכפלה המוגדרת ע"י הנוסחא הפולרית היא אכן מכפלה פנימית, וכך נעשה בסעיפים הבאים.
