===הוכחת כלל המקבילית===
*<math>||x+y||^2+||x-y||^2=\langle x+y,x+y\rangle+\langle x-y,x-y\rangle=</math>*<math>=\langle x, x\rangle +\langle x,y \rangle + \langle y,x \rangle + \langle y, y\rangle + \langle x, x\rangle -\langle x,y \rangle - \langle y,x \rangle + \langle y, y\rangle=</math>*<math>=2\langle x, x\rangle+2\langle y, y\rangle = 2 ||x|^2 +2||y||^2</math>
<math>=\langle x, x\rangle +\langle x,y \rangle + \langle y,x \rangle + \langle y, y\rangle + \langle x, x\rangle -\langle x,y \rangle - \langle y,x \rangle + \langle y, y\rangle=</math>
<math>=2\langle x, x\rangle+2\langle y, y\rangle = 2 ||x|^2 +2||y||^2</math>
==נורמה שאינה מושרית ממכפלה פנימית==
==הוכחה כי המכפלה הפנימית המושרית היא אכן מכפלה פנימיתבמקרה הממשי==
===המקרה הממשי===
יהי <math>V</math> מרחב נורמי ממשי, עם נורמה המקיימת את כלל המקבילית.
נגדיר את המכפלה <math>\langle x,y\rangle = \frac{||x||^2 +||y||^2 -||x-y||^2 }{2}</math>
נוכיח כי זו אכן מכפלה פנימית, וכי הנורמה של המרחב מושרית מכפלה פנימית זו.
====אדטיביות====
ראשית נוכיח כי <math>\langle x+y,z\rangle = \langle x,z\rangle+\langle y,z\rangle</math>
====כפל בסקלר====
נוכיח כי לכל סקלר <math>c</math> מתקיים כי
====סימטריות====
כיוון שמדובר בממשיים, עלינו להוכיח כי <math>\langle x,y\rangle = \langle y,x\rangle</math>
<math>\langle x,y\rangle = \frac{||x+y||^2 -||x-y||^2}{4} = \frac{||x+y||^2 -||y-x||^2}{4} = \langle y,x\rangle</math>
====אנטי אי שליליות====
נבצע מכפלה פנימית בין וקטור לעצמו
כמו כן נשים לב שמתקיים <math>||x||=\sqrt{\langle x,x\rangle}</math>, כלומר הנורמה שלנו היא אכן נורמה המושרית מהמכפלה הפנימית שייצרנו.
==הוכחה כי המכפלה הפנימית המושרית היא אכן מכפלה פנימית במקרה המרוכב==
יהי <math>V</math> מרחב נורמי מעל שדה המרוכבים, עם נורמה המקיימת את כלל המקבילית.
נגדיר את המכפלה <math>\langle x,y\rangle=\frac{||x||^2 +||y||^2 -||x-y||^2}{2} + i\cdot \frac{||x||^2 +||y||^2 -||x-iy||^2}{2}</math>.
נוכיח כי זו אכן מכפלה פנימית, וכי הנורמה של המרחב מושרית מכפלה פנימית זו.
שוב נעזר בפיתוח שעשינו בהוכחה מעל הממשיים, ונקבל כי
<math>\langle x,y\rangle = \frac{||x+y||^2 -||x-y||^2 }{4} + i\cdot \frac{||x+iy||^2 - ||x-iy||^2}{4}</math>
כאשר השתמשנו בעובדה כי <math>||y||^2 = ||iy||^2</math>.
===אדטיביות===
עלינו להוכיח כי <math>\langle x+y,z\rangle = \langle x,z\rangle+\langle y,z\rangle</math>
נוכיח כי החלקים הממשיים של שני צידי המשוואה שווים וכך גם החלקים המדומים ומכאן המשוואה מתקיימת.
כלומר צריך להוכיח כי
<math>\frac{||x+y+z||^2-||x+y-z||^2}{4} = \frac{||x+z||^2-||x-z||^2}{4} + \frac{||y+z||^2 -||y-z||^2}{4}</math>
וכן
<math>\frac{||x+y+iz||^2-||x+y-iz||^2}{4} = \frac{||x+iz||^2-||x-iz||^2}{4} + \frac{||y+iz||^2 -||y-iz||^2}{4}</math>
אבל את המשוואה הראשונה הוכחנו בחלק הממשי, ואותה הוכחה בדיוק תקיפה כאן (כי לא היה בה שימוש בסקלרים, רק בכלל המקבילית).
ע"י הצבת <math>iz</math> במקום <math>z</math> נקבל גם את המשוואה השנייה.
===כפל בסקלר===
עלינו להוכיח כי:
<math>\langle (a+bi)x,y\rangle = (a+bi)\langle x,y\rangle</math>
מהאדטיביות אנו יודעים כי
<math>\langle (a+bi)x,y\rangle = \langle ax,y\rangle+\langle bix,y\rangle</math>
בעזרת הוכחה זהה למקרה הממשי, ניתן להסיק כי לכל <math>c\in\mathbb{R}</math> מתקיים כי <math>\langle cx,y\rangle = c\langle x,y\rangle</math>.
ולכן נקבל כי
<math>\langle ax,y\rangle = a\langle x,y\rangle</math>
וכן
<math>\langle bix,y\rangle = b\langle ix,y\rangle</math>
לכן כל שנותר לנו להוכיח הוא כי
<math>\langle ix,y\rangle = i\langle x,y\rangle</math>
ואז נקבל כי
<math>\langle (a+bi)x,y\rangle = a\langle x,y\rangle+bi\langle x,y\rangle=(a+bi)\langle x,y\rangle</math>
נציב בפיתוח של המכפלה הפנימית
<math>\langle x,y\rangle = \frac{||x+y||^2 -||x-y||^2 }{4} + i\cdot \frac{||x+iy||^2 - ||x-iy||^2}{4}</math>
<math>\langle ix,y\rangle = \frac{||ix+y||^2 -||ix-y||^2 }{4} + i\cdot \frac{||ix+iy||^2 - ||ix-iy||^2}{4}</math>
<math>i\cdot \langle x,y\rangle = i\cdot \frac{||x+y||^2 -||x-y||^2 }{4} - \frac{||x+iy||^2 - ||x-iy||^2}{4}</math>
כאמור אנחנו רוצים להוכיח כי <math>\langle ix,y\rangle = i\langle x,y\rangle</math>
לכן עלינו להוכיח את שתי המשוואות הבאות (השוואה בין החלקים הממשיים, והשוואה בין החלקים המדומים):
<math>\frac{||ix+y||^2 -||ix-y||^2 }{4} = - \frac{||x+iy||^2 - ||x-iy||^2}{4}</math>
<math>\frac{||ix+iy||^2 - ||ix-iy||^2}{4} = \frac{||x+y||^2 -||x-y||^2 }{4}</math>
נכפול כמובן ב4 את המשוואות, ונתחיל לטפל במשוואה הראשונה:
<math>||ix+y||^2 -||ix-y||^2 = ||i(x-iy)||^2 -||i(x+iy)||^2 = </math>
<math>=(|i|\cdot ||x-iy||)^2 - (|i|\cdot ||x+iy||)^2 =-(||x+iy||^2 -||x-iy||^2)</math>
בדיוק כפי שהיינו צריכים להוכיח.
באופן דומה נטפל במשוואה השנייה
<math>||ix+iy||^2 - ||ix-iy||^2 = ||i(x+y)||^2 - ||i(x-y)||^2 =||x+y||^2 -||x-y||^2</math>
בדיוק כפי שהיינו צריכים להוכיח.
===הרמיטיות===
עלינו להוכיח כי <math>\langle x,y\rangle = \overline{\langle y,x\rangle}</math>
ראשית נציב בפיתוח של המכפלה הפנימית:
<math>\langle x,y\rangle = \frac{||x+y||^2 -||x-y||^2 }{4} + i\cdot \frac{||x+iy||^2 - ||x-iy||^2}{4}</math>
<math>\langle y,x\rangle = \frac{||y+x||^2 -||y-x||^2 }{4} + i\cdot \frac{||y+ix||^2 - ||y-ix||^2}{4}</math>
<math>\overline{\langle y,x\rangle} = \frac{||y+x||^2 -||y-x||^2 }{4} - i\cdot \frac{||y+ix||^2 - ||y-ix||^2}{4}</math>
כלומר עלינו להוכיח את שתי המשוואות הבאות (השוואה בין החלקים הממשיים, והשוואה בין החלקים המדומים):
<math>\frac{||x+y||^2 -||x-y||^2 }{4}=\frac{||y+x||^2 -||y-x||^2 }{4} </math>
<math>\cdot \frac{||x+iy||^2 - ||x-iy||^2}{4} = -\frac{||y+ix||^2 - ||y-ix||^2}{4}</math>
נתחיל מהמשוואה הראשונה:
<math>||x-y||^2 = ||-(y-x)||^2 =(|-1|\cdot ||y-x||)^2 = ||y-x||^2</math>
ולכן המשוואה הראשונה מתקיימת.
כעת נשווה את המונים במשוואה השנייה:
<math>||x+iy||^2 - ||x-iy||^2 = ||i(-ix+y)||^2 - ||-i(ix+y)||^2 = </math>
<math>=(|i|\cdot||y-ix||)^2 -(|-i|\cdot ||y+ix||)^2= -(||y+ix||^2 - ||y-ix||^2)</math>
כפי שהיינו צריכים להוכיח.
===אי שליליות===
נבצע מכפלה פנימית בין וקטור לעצמו
<math>\langle x,x\rangle = \frac{||x+x||^2 -||x-x||^2}{4} + i\cdot \frac{||x+ix||^2 -||x-ix||^2}{4}</math>
נפתח את החלק הממשי:
<math>\frac{||x+x||^2 -||x-x||^2}{4} = \frac{||2x||^2 }{4} = \frac{4||x||^2}{4}=||x||^2</math>
לגבי החלק המדומה, נשים לב כי
<math>||x+ix||^2 = ||(1+i)x||^2 = |1+i|^2 ||x||^2 = 2||x||^2</math>
וכן
<math>||x-ix||^2 = ||(1-i)x||^2 = |1-i|^2 ||x||^2 = 2||x||^2</math>
וסה"כ החלק המדומה מתאפס
<math>\frac{||x+ix||^2 -||x-ix||^2}{4}=0</math>
(הערה: אפשר היה גם להסיק שהחלק המדומה מתאפס בזכות ההרמיטיות.)
סה"כ קיבלנו כי
<math>\langle x,x\rangle = ||x||^2 </math>
ומתכונות הנורמה אנו יודעים כי ביטוי זה אינו שלילי, ומתאפס אם ורק אם <math>x=0</math>.
לבסוף, נשים לב כי גילינו כי <math>||x||=\sqrt{\langle x,x\rangle}</math>, כלומר הנורמה של המרחב מושרית מהמכפלה הפנימית שיצרנו.