שינויים
/* אי שליליות */
<math>\langle x,y\rangle = \frac{||x+y||^2 -||x-y||^2}{4} = \frac{||x+y||^2 -||y-x||^2}{4} = \langle y,x\rangle</math>
===אנטי אי שליליות===
נבצע מכפלה פנימית בין וקטור לעצמו
<math>\langle ix,y\rangle = i\langle x,y\rangle</math>
ואז נקבל כי
<math>\langle (a+bi)x,y\rangle = a\langle x,y\rangle+bi\langle x,y\rangle=(a+bi)\langle x,y\rangle</math>
נציב בפיתוח של המכפלה הפנימית
<math>\langle x,y\rangle = \frac{||x+y||^2 -||x-y||^2 }{4} + i\cdot \frac{||x+iy||^2 - ||x-iy||^2}{4}</math>
<math>\langle ix,y\rangle = \frac{||ix+y||^2 -||ix-y||^2 }{4} + i\cdot \frac{||ix+iy||^2 - ||ix-iy||^2}{4}</math>
<math>i\cdot \langle x,y\rangle = i\cdot \frac{||x+y||^2 -||x-y||^2 }{4} - \frac{||x+iy||^2 - ||x-iy||^2}{4}</math>
כאמור אנחנו רוצים להוכיח כי <math>\langle ix,y\rangle = i\langle x,y\rangle</math>
לכן עלינו להוכיח את שתי המשוואות הבאות (השוואה בין החלקים הממשיים, והשוואה בין החלקים המדומים):
<math>\frac{||ix+y||^2 -||ix-y||^2 }{4} = - \frac{||x+iy||^2 - ||x-iy||^2}{4}</math>
<math>\frac{||ix+iy||^2 - ||ix-iy||^2}{4} = \frac{||x+y||^2 -||x-y||^2 }{4}</math>
נכפול כמובן ב4 את המשוואות, ונתחיל לטפל במשוואה הראשונה:
<math>||ix+y||^2 -||ix-y||^2 = ||i(x-iy)||^2 -||i(x+iy)||^2 = </math>
<math>=(|i|\cdot ||x-iy||)^2 - (|i|\cdot ||x+iy||)^2 =-(||x+iy||^2 -||x-iy||^2)</math>
בדיוק כפי שהיינו צריכים להוכיח.
באופן דומה נטפל במשוואה השנייה
<math>||ix+iy||^2 - ||ix-iy||^2 = ||i(x+y)||^2 - ||i(x-y)||^2 =||x+y||^2 -||x-y||^2</math>
בדיוק כפי שהיינו צריכים להוכיח.
===הרמיטיות===
עלינו להוכיח כי <math>\langle x,y\rangle = \overline{\langle y,x\rangle}</math>
ראשית נציב בפיתוח של המכפלה הפנימית:
<math>\langle x,y\rangle = \frac{||x+y||^2 -||x-y||^2 }{4} + i\cdot \frac{||x+iy||^2 - ||x-iy||^2}{4}</math>
<math>\langle y,x\rangle = \frac{||y+x||^2 -||y-x||^2 }{4} + i\cdot \frac{||y+ix||^2 - ||y-ix||^2}{4}</math>
<math>\overline{\langle y,x\rangle} = \frac{||y+x||^2 -||y-x||^2 }{4} - i\cdot \frac{||y+ix||^2 - ||y-ix||^2}{4}</math>
כלומר עלינו להוכיח את שתי המשוואות הבאות (השוואה בין החלקים הממשיים, והשוואה בין החלקים המדומים):
<math>\frac{||x+y||^2 -||x-y||^2 }{4}=\frac{||y+x||^2 -||y-x||^2 }{4} </math>
<math>\cdot \frac{||x+iy||^2 - ||x-iy||^2}{4} = -\frac{||y+ix||^2 - ||y-ix||^2}{4}</math>
נתחיל מהמשוואה הראשונה:
<math>||x-y||^2 = ||-(y-x)||^2 =(|-1|\cdot ||y-x||)^2 = ||y-x||^2</math>
ולכן המשוואה הראשונה מתקיימת.
כעת נשווה את המונים במשוואה השנייה:
<math>||x+iy||^2 - ||x-iy||^2 = ||i(-ix+y)||^2 - ||-i(ix+y)||^2 = </math>
<math>=(|i|\cdot||y-ix||)^2 -(|-i|\cdot ||y+ix||)^2= -(||y+ix||^2 - ||y-ix||^2)</math>
כפי שהיינו צריכים להוכיח.
===אי שליליות===
נבצע מכפלה פנימית בין וקטור לעצמו
<math>\langle x,x\rangle = \frac{||x+x||^2 -||x-x||^2}{4} + i\cdot \frac{||x+ix||^2 -||x-ix||^2}{4}</math>
נפתח את החלק הממשי:
<math>\frac{||x+x||^2 -||x-x||^2}{4} = \frac{||2x||^2 }{4} = \frac{4||x||^2}{4}=||x||^2</math>
לגבי החלק המדומה, נשים לב כי
<math>||x+ix||^2 = ||(1+i)x||^2 = |1+i|^2 ||x||^2 = 2||x||^2</math>
וכן
<math>||x-ix||^2 = ||(1-i)x||^2 = |1-i|^2 ||x||^2 = 2||x||^2</math>
וסה"כ החלק המדומה מתאפס
<math>\frac{||x+ix||^2 -||x-ix||^2}{4}=0</math>
(הערה: אפשר היה גם להסיק שהחלק המדומה מתאפס בזכות ההרמיטיות.)
סה"כ קיבלנו כי
<math>\langle x,x\rangle = ||x||^2 </math>
ומתכונות הנורמה אנו יודעים כי ביטוי זה אינו שלילי, ומתאפס אם ורק אם <math>x=0</math>.
לבסוף, נשים לב כי גילינו כי <math>||x||=\sqrt{\langle x,x\rangle}</math>, כלומר הנורמה של המרחב מושרית מהמכפלה הפנימית שיצרנו.
