שינויים
/* המקרה הממשי */
ראשית נשים לב לפיתוח הבא:
<math>\langle x,y\rangle = \frac{||x||^2 +||y||^2 -||x-y||^2 }{2}= \frac{2||x||^2 +2||y||^2 -2||x-y||^2 }{4} = \frac{||x+y||^2 -||x-y||^2}{4}</math>
כאשר המעבר האחרון הוא בזכות כלל המקבילית
====אדטיביות====
ראשית נוכיח כי <math>\langle x+y,z\rangle = \langle x,z\rangle+\langle y,z\rangle</math>
לפי ההגדרה מתקיים כי:
<math>24\langle x+y,z\rangle = ||x+y||^2 +||z||^2 -||x+y-z||^2</math>
וכן
<math>24\langle x,z\rangle+24\langle y,z\rangle = ||x||^2 +||z||^2 -||x-z||^2 + ||y||^2 +||z||^2 -||y-z||^2</math>
ולכן עלינו להוכיח כי
<math>||x+y+z||^2 -||x+y-z||^2 = ||x+z||^2 -||x-z||^2 +||y+z||^2 -||y-z||^2</math> נעביר אגף, ונקבל שעלינו להוכיח כי <math>||x+y+z||^2 -||x+y-z||^2 - ||x+z||^2 +||x-z||^2 -||y+z||^2 +||y-z||^2 = 0</math> נפעיל את כלל המקבילית על ארבעת זוגות הוקטורים הבאים: <math>\{x+z+y,x-y\} , \{x+z-y,x+y\}, \{z+y,y\} , \{z-y,y\}</math> ונקבל את ארבע המשוואות: <math>||2x+z||^2 +||z+2y||^2 = 2||x+z+y||^2 +2||x-y||^2 </math> <math>||2x+z||^2 +||z-2y||^2 = 2||x+z-y||^2 + 2||x+y||^2 </math> <math>||z+2y||^2 + ||z||^2 = 2||z+y||^2 +2||y||^2</math> <math>||z||^2 +||z-2y||^2 = 2||z-y||^2 +2||y||^2</math> כעת ניקח את המשוואה הראשונה, פחות השנייה, פחות השלישית ועוד הרביעית (קל).כל הצד השמאלי יתאפס ונקבל סה"כ: <math>0 = 2||x+z+y||^2 + 2||x-y||^2 - 2||x+z-y||^2 - 2||x+y||^2 - 2||z+y||^2 + 2||z-y||^2</math>
