שינויים
/* כפל בסקלר */
<math>\langle \frac{p}{n}x,y\rangle = p\langle \frac{1}{n}x,y\rangle =\frac{p}{n}\langle x,y\rangle</math>
לבסוף, יהי <math>c\in\mathbb{R}</math>.
ניקח סדרה <math>c_n\in\mathbb{Q}</math> כך ש <math>c_n\to c</math>
לכן
<math>\langle c_n x,y\rangle=c_n \langle x,y\rangle \to c\langle x,y\rangle</math>
מצד שני
<math>\langle cx,y\rangle - \langle c_n x,y\rangle = \langle cx,y\rangle + \langle -c_n x,y\rangle = \langle (c-c_n)x,y\rangle</math>
כעת לפי אי שיוויון המשולש נקבל כי
<math>||(c-c_n)x+y||\leq ||(c-c_n)x||+||y||=|c-c_n|\cdot ||x||+||y||\to ||y||</math>
לכן סה"כ
<math>\langle (c-c_n)x,y\rangle=\frac{||(c-c_n)x+y||^2 - ||(c-c_n)x-y||^2}{4}\to \frac{||y||^2-||y||^2}{4} =0</math>
כלומר קיבלנו כי <math>\langle c_n x,y\rangle \to \langle cx,y\rangle</math>
ויחד עם העובדה שראינו למעלה כי <math>\langle c_n x,y\rangle\to c\langle x,y\rangle</math>
סה"כ נקבל כי
<math>\langle cx,y\rangle=c\langle x,y\rangle</math> כפי שרצינו.
