נוספו 2,788 בתים,
23:14, 14 בפברואר 2012 ה'''מנרמל''' של [[תת-חבורה]] H ב[[חבורה]] G הוא הקבוצה <math>\ N_G(H) = \{g \in G: gHg^{-1} = H\}</math>. זוהי תת-חבורה של G, המכילה את H.
המנרמל הוא תת-החבורה *הגדולה ביותר* של G שבתוכה H [[תת-חבורה נורמלית|נורמלית]]. ביתר דיוק:
* תהי G חבורה, ותהי H תת-חבורה שלה. לכל תת-חבורה <math>\ H \subset S \subset G</math>, <math>\ H \vartriangleleft S</math> אם ורק אם <math>\ S \subseteq N_G(H)</math>. בפרט, <math>\ H \vartriangleleft N_G(H)</math>.
כמובן, אם H נורמלית, אז המנרמל שלה הוא כל החבורה.
== דקויות ==
תת-חבורה H היא נורמלית ב-G אם לכל <math>\ g\in G</math> מתקיים <math>\ gHg^{-1} = H</math>, והתנאי האחרון הוא זה המופיע בהגדרת המנרמל. כאן נחבאת נקודה מבלבלת. התנאי "לכל <math>\ g\in G</math> מתקיים <math>\ gHg^{-1} \subseteq H</math>", למרות שהוא א-פריורי חלש יותר, מגדיר נורמליות באותה מידה כמו התנאי הראשון. עם זאת, הקבוצה <math>\ \{g \in G: gHg^{-1} \subseteq H\}</math> אינה בהכרח שווה למנרמל: היא עשויה להכיל אותו ממש, ואף אינה חייבת להיות תת-חבורה של G (כמובן שאם G סופית אין הבדל בין שתי ההגדרות).
== הצמדות ==
המנרמל סופר [[תת-חבורות צמודות]], במובן הבא: לכל תת-חבורה H של חבורה G, מספר תת-החבורות הצמודות ל-H (ב-G) שווה ל[[אינדקס של תת-חבורה|אינדקס]] <math>\ [G:N_G(H)]</math>.
תהיינה G חבורה ו-H תת-חבורה. אז לכל <math>\ g \in G</math> מתקיים <math>\ N_G(gHg^{-1}) = gN_G(H)g^{-1}</math>.
הכללה: יהי <math>\ \varphi</math> [[אוטומורפיזם]] של G; אז <math>\ N_G(\varphi(H)) = \varphi(N_G(H))</math>.
== דגשים ==
* הפונקציה <math>\ H \mapsto N_G(H)</math> המתאימה לתת-חבורה את המנרמל שלה, '''אינה''' מונוטונית כמו פונקציית ה[[מרכז של תת-חבורה|מרכז]]. כלומר, מכך ש-<math>\ H_1 \subseteq H_2</math> לא נובע א-פריורי שום יחס בין המנרמלים <math>\ N_G(H_1), N_G(H_2)</math>.
* המנרמל עצמו אינו חייב להיות נורמלי ב-G. לפיכך, גם לו יש מנרמל משלו, <math>\ N_G(N_G(H))</math>, וכן הלאה. (אם P היא [[תת-חבורת סילו]], אז המנרמל שלה נורמלי בעצמו בלבד, כלומר <math>\ N_G(N_G(P)) = N_G(P)</math>.
[[קטגוריה:89214]]