הבדלים בין גרסאות בדף "משפט בולצאנו-ויירשטראס"

גרסה אחרונה מ־06:54, 19 ביוני 2017

משפט בולצאנו-ויירשטראס לסדרות

לכל סדרה חסומה יש תת-סדרה מתכנסת

הוכחה

ראשית, נזכר בלמה של קנטור. יהי $\{I_n\}$ אוסף של קטעים סגורים $I_n=[a_n,b_n]$ כך שכל אחד מוכל בקודמו (כלומר $a_n$ מונוטונית לא-יורדת, ו- $b_n$ מונוטונית לא-עולה). עוד נניח כי אורך הקטעים שואף ל- $0$ , כלומר $\lim\limits_{n\to\infty}\Big[b_n-a_n\Big]=0$ .

אזי קיימת נקודה יחידה השייכת לכל הקטעים. (מתקיים באופן טבעי שנקודה זו שווה לגבול הסדרות $a_n,b_n$ )

נביט כעת בסדרה חסומה $-M\le a_n\le M$ (זכרו, הסדרה לא חייבת להיות בכל הקטע הזה, רק לא לצאת ממנו). כיון שבסדרה ישנם אינסוף אברים, הקטע $I_1:=[-M,M]$ מכיל אינסוף אברים מהסדרה.

נביט כעת בשני חצאי הקטע $[-M,0],[0,M]$ . בהכרח אחד מהם לפחות מכיל אינסוף אברים מהסדרה (וזה עיקר הרעיון של ההוכחה). נסמן את חצי הקטע הזה $I_2$ . נחצה את הקטע הזה לשניים, ונבחר חצי שמכיל אינסוף אברים.

אם כך, קיבלנו סדרה של קטעים $I_1\supseteq I_2\supseteq\cdots$ המקיימת את התכונות הבאות:

כל קטע מכיל אינסוף אברים מהסדרה $a_n$

כל קטע מוכל בקודמו

אורך כל קטע הוא חצי קודמו. כיון שאורך הקטע הראשון הנו $2M$ אורך הקטע $I_n$ שווה $\dfrac{M}{2^{n-2}}$ . ברור שאורך הקטעים שואף ל-0

לפי הלמה של קנטור, מתקיים כי יש נקודה המוכל בכל הקטעים הללו, נקרא לה $L$ . נוכיח כי $L$ הנה גבול חלקי של $a_n$ ובכך נסיים את ההוכחה (שכן ההגדרה של גבול חלקי הנו קיום תת-סדרה השואפת אליו).

יהי $\varepsilon>0$ . רוצים להוכיח כי בסביבת $\varepsilon$ של $L$ ישנם אינסוף אברים מהסדרה.
כיון שאורך הקטעים שבנינו שואפים ל-0, יש קטע שאורכו קטן מ- $\dfrac{\varepsilon}{2}$ .
לפי ההגדרה של $L$ מהלמה של קנטור, $L$ מוכל בכל הקטעים שבנינו ובפרט בקטע הקטן הזה.
לכן בודאי הקטע הקטן מוכל בסביבת $\varepsilon$ של $L$ .
אבל אחת התכונות של הקטעים שבנינו היא שהם מכילים אינסוף אברים מהסדרה ולכן קיימים אינסוף אברים מהסדרה בסביבת $\varepsilon$ של $L$ .

$\blacksquare$

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-==משפט בולצאנו ויירשטראס לסדרות==
+==משפט בולצאנו-ויירשטראס לסדרות==
-לכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת
+לכל סדרה חסומה יש תת-סדרה מתכנסת
 ==הוכחה==
-ראשית, נזכר ב'''למה של קנטור'''. יהי <math>\{I_n\}</math> אוסף של קטעים סגורים <math>I_n=[a_n,b_n]</math> כך שכל אחד מוכל בקודמו (כלומר <math>a_n</math> מונוטונית לא יורדת, ו<math>b_n</math> מונוטונית לא עולה). עוד נניח כי אורך הקטעים שואף לאפס, כלומר <math>\lim_{n\rightarrow\infty}b_n-a_n =0</math>.
+ראשית, נזכר ב'''למה של קנטור'''. יהי <math>\{I_n\}</math> אוסף של קטעים סגורים <math>I_n=[a_n,b_n]</math> כך שכל אחד מוכל בקודמו (כלומר <math>a_n</math> מונוטונית לא-יורדת, ו- <math>b_n</math> מונוטונית לא-עולה). עוד נניח כי אורך הקטעים שואף ל- <math>0</math> , כלומר <math>\lim\limits_{n\to\infty}\Big[b_n-a_n\Big]=0</math> .
-אזי קיימת נקודה יחידה השייכת '''לכל''' הקטעים. (מתקיים באופן טבעי שנקודה זו שווה לגבול הסדרות <math>a_n,b_n</math>.)
+אזי קיימת נקודה יחידה השייכת '''לכל''' הקטעים. (מתקיים באופן טבעי שנקודה זו שווה לגבול הסדרות <math>a_n,b_n</math>)
-נביט כעת בסדרה חסומה <math>-M\leq a_n \leq M</math> (זכרו, הסדרה לא חייבת להיות בכל הקטע הזה, רק לא לצאת ממנו). כיוון שבסדרה ישנם אינסוף איברים, הקטע <math>I_1:=[-M,M]</math> מכיל אינסוף איברים מהסדרה.
+נביט כעת בסדרה חסומה <math>-M\le a_n\le M</math> (זכרו, הסדרה לא חייבת להיות בכל הקטע הזה, רק לא לצאת ממנו). כיון שבסדרה ישנם אינסוף אברים, הקטע <math>I_1:=[-M,M]</math> מכיל אינסוף אברים מהסדרה.
-נביט כעת בשני חצאי הקטע <math>[-M,0],[0,M]</math>. '''בהכרח אחד מהם לפחות מכיל אינסוף איברים מהסדרה''' (וזה עיקר הרעיון של ההוכחה). נסמן את חצי הקטע הזה ב <math>I_2</math>. נחצה את הקטע הזה לשניים, ונבחר חצי שמכיל אינסוף איברים.
+נביט כעת בשני חצאי הקטע <math>[-M,0],[0,M]</math> . '''בהכרח אחד מהם לפחות מכיל אינסוף אברים מהסדרה''' (וזה עיקר הרעיון של ההוכחה). נסמן את חצי הקטע הזה <math>I_2</math> . נחצה את הקטע הזה לשניים, ונבחר חצי שמכיל אינסוף אברים.
-אם כך, קיבלנו סדרה של קטעים <math>I_1\supseteq I_2 \supseteq \cdots</math> המקיימת את התכונות הבאות:
+אם כך, קיבלנו סדרה של קטעים <math>I_1\supseteq I_2\supseteq\cdots</math> המקיימת את התכונות הבאות:
-*כל קטע מכיל אינסוף איברים מהסדרה <math>a_n</math>
+*כל קטע מכיל אינסוף אברים מהסדרה <math>a_n</math>
 *כל קטע מוכל בקודמו
-*אורך כל קטע הוא חצי קודמו. כיוון שאורך הקטע הראשון הינו 2M אורך הקטע <math>I_n</math> שווה ל<math>\frac{M}{2^{n-2}}</math>. ברור שאורך הקטעים שואף לאפס לכן.
+*אורך כל קטע הוא חצי קודמו. כיון שאורך הקטע הראשון הנו <math>2M</math> אורך הקטע <math>I_n</math> שווה <math>\dfrac{M}{2^{n-2}}</math> . ברור שאורך הקטעים שואף ל-0
-לפי הלמה של קנטור, מתקיים כי יש נקודה המוכל '''בכל''' הקטעים הללו, נקרא לה L. נוכיח כי L הינו גבול חלקי של <math>a_n</math> ובכך נסיים את ההוכחה (שכן ההגדרה של גבול חלקי הינו קיום תת סדרה השואפת אליו).
+לפי הלמה של קנטור, מתקיים כי יש נקודה המוכל '''בכל''' הקטעים הללו, נקרא לה <math>L</math> . נוכיח כי <math>L</math> הנה גבול חלקי של <math>a_n</math> ובכך נסיים את ההוכחה (שכן ההגדרה של גבול חלקי הנו קיום תת-סדרה השואפת אליו).
-*יהי אפסילון גדול מאפס, רוצים להוכיח כי בסביבת אפסילון של L ישנם אינסוף איברים מהסדרה.
+*יהי <math>\varepsilon>0</math> . רוצים להוכיח כי בסביבת <math>\varepsilon</math> של <math>L</math> ישנם אינסוף אברים מהסדרה.
-*כיוון שאורך הקטעים שבנינו שואפים לאפס, יש קטע שאורכו קטן מאפסילון חלקי 2.
+*כיון שאורך הקטעים שבנינו שואפים ל-0, יש קטע שאורכו קטן מ- <math>\dfrac{\varepsilon}{2}</math> .
-*לפי ההגדרה של L מהלמה של קנטור, L מוכל בכל הקטעים שבנינו ובפרט בקטע הקטן הזה.
+*לפי ההגדרה של <math>L</math> מהלמה של קנטור, <math>L</math> מוכל בכל הקטעים שבנינו ובפרט בקטע הקטן הזה.
-*לכן בוודאי הקטע הקטן מוכל בסביבת אפסילון של L.
+*לכן בודאי הקטע הקטן מוכל בסביבת <math>\varepsilon</math> של <math>L</math> .
-*אבל אחת התכונות של הקטעים שבנינו היא שהם מכילים אינסוף איברים מהסדרה ולכן קיימים אינסוף איברים מהסדרה בסביבת אפסילון של L.
+*אבל אחת התכונות של הקטעים שבנינו היא שהם מכילים אינסוף אברים מהסדרה ולכן קיימים אינסוף אברים מהסדרה בסביבת <math>\varepsilon</math> של <math>L</math> .
+<math>\blacksquare</math>
-כפי שרצינו להוכיח.
 [[קטגוריה:אינפי]]

הבדלים בין גרסאות בדף "משפט בולצאנו-ויירשטראס"

גרסה אחרונה מ־06:54, 19 ביוני 2017

משפט בולצאנו-ויירשטראס לסדרות

הוכחה

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים