שינויים

ראשית, נזכר ב'''למה של קנטור'''. יהי <math>\{I_n\}</math> אוסף של קטעים סגורים <math>I_n=[a_n,b_n]</math> כך שכל אחד מוכל בקודמו (כלומר <math>a_n</math> מונוטונית לא-יורדת, ו- <math>b_n</math> מונוטונית לא-עולה). עוד נניח כי אורך הקטעים שואף ל- <math>0</math> , כלומר <math>\lim_lim\limits_{n\to\infty}\Big[b_n-a_n \Big]=0</math> .

נביט כעת בסדרה חסומה <math>-M\le a_n\le M</math> (זכרו, הסדרה לא חייבת להיות בכל הקטע הזה, רק לא לצאת ממנו). כיון שבסדרה ישנם אינסוף איבריםאברים, הקטע <math>I_1:=[-M,M]</math> מכיל אינסוף איברים אברים מהסדרה.

נביט כעת בשני חצאי הקטע <math>[-M,0],[0,M]</math> . '''בהכרח אחד מהם לפחות מכיל אינסוף איברים אברים מהסדרה''' (וזה עיקר הרעיון של ההוכחה). נסמן את חצי הקטע הזה ב- <math>I_2</math> . נחצה את הקטע הזה לשניים, ונבחר חצי שמכיל אינסוף איבריםאברים.

אם כך, קיבלנו סדרה של קטעים <math>I_1\supseteq I_2 \supseteq \cdots</math> המקיימת את התכונות הבאות:

*כל קטע מכיל אינסוף איברים אברים מהסדרה <math>a_n</math>

*אורך כל קטע הוא חצי קודמו. כיון שאורך הקטע הראשון הנו <math>2M</math> אורך הקטע <math>I_n</math> שווה ל- <math>\fracdfrac{M}{2^{n-2}}</math> . ברור שאורך הקטעים שואף ל- <math>0</math> לכן-

*יהי <math>\epsilon>0</math> , רוצים להוכיח כי בסביבת <math>\epsilon</math> של <math>L</math> ישנם אינסוף איברים אברים מהסדרה.*כיון שאורך הקטעים שבנינו שואפים ל- <math>0</math> , יש קטע שאורכו קטן מ- <math>\frac{\epsilon}{2}</math> .

*לכן בוודאי בודאי הקטע הקטן מוכל בסביבת <math>\epsilon</math> של <math>L</math> .*אבל אחת התכונות של הקטעים שבנינו היא שהם מכילים אינסוף איברים מהסדרה ולכן קיימים אינסוף איברים אברים מהסדרה בסביבת <math>\epsilon</math> של <math>L</math> .