הבדלים בין גרסאות בדף "משפט הדרגה"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(יצירת דף עם התוכן "=משפט הדרגה= יהיו V,W מ"ו נוצרים סופית, ותהי העתקה לינארית <math>T:V\rightarrow W</math>. אזי מתקיים: ::<math>di...")
 
(←‏הוכחה)
שורה 5: שורה 5:
  
 
=הוכחה=
 
=הוכחה=
 +
נסמן את הבסיס לגרעין ב-<math>\{v_1,...,v_k\}</math>.
 +
 +
נשלים את הבסיס הזה לבסיס ל-V, נסמנו ב- <math>\{v_1,...,v_k,u_1,...,u_p\}</math>.
 +
 +
נוכיח כי <math>E=\{Tu_1,...,Tu_p\}</math> בסיס לתמונה, ומכאן נסיק בקלות את המשפט.
 +
 +
===E פורש את ImT===
 +
כיוון שכל וקטור ב-V הינו צירוף לינארי של איברי הבסיס, T שולחת כל וקטור לצירוף לינארי של תמונות איברי הבסיס.
 +
 +
לכן, באופן כללי, בהנתן בסיס ל-V התמונות של איברי הבסיס '''פורשות''' (אך לא בהכרח בסיס) לתמונה של T.
 +
 +
כלומר, <math>ImT=span\{Tv_1,...,Tv_k,Tu_1,...,Tu_p\}</math>.
 +
 +
 +
ברור כי <math>Tv_1=...=Tv_k=0</math> (הרי בחרנו את <math>v_1,...,v_k</math> להיות בסיס לגרעין).
 +
 +
לכן מתקיים <math>ImT=span\{Tu_1,...,Tu_p\}</math>.
 +
 +
===E בת"ל===
 +
 +
ניקח צירוף לינארי מתאפס של איברי E:
 +
 +
::<math>a_1Tu_1+...+a_pTu_p=0</math>
 +
 +
לכן
 +
 +
::<math>T(a_1u_1+...+a_pu_p)=0</math>
 +
 +
לכן
 +
 +
::<math>a_1u_1+...+a_pu_p\in kerT</math>
 +
 +
ולכן קיים צירוף לינארי של איברי הבסיס לגרעין כך ש:
 +
 +
::<math>a_1u_1+...+a_pu_p=b_1v_1+...+b_kv_k</math>
 +
 +
נעביר אגף לקבל צירוף לינארי מתאפס של איברי הבסיס של V, ולכן כל המקדמים הם אפס
 +
 +
לכן E בת"ל.
 +
 +
 +
===ספירת מימדים וסיכום===
 +
הוכחנו, איפוא, כי E הינו בסיס לתמונה, ולכן יש לנו בסיסים ומימדים לכל תתי המרחבים המעורבים בעניין.
 +
 +
::<math>dim(V)=k+p=dim(kerT)+dim(ImT)</math>

גרסה מ־18:47, 15 בספטמבר 2011

משפט הדרגה

יהיו V,W מ"ו נוצרים סופית, ותהי העתקה לינארית T:V\rightarrow W. אזי מתקיים:

dim(kerT)+dim(ImT)=dim(V)

הוכחה

נסמן את הבסיס לגרעין ב-\{v_1,...,v_k\}.

נשלים את הבסיס הזה לבסיס ל-V, נסמנו ב- \{v_1,...,v_k,u_1,...,u_p\}.

נוכיח כי E=\{Tu_1,...,Tu_p\} בסיס לתמונה, ומכאן נסיק בקלות את המשפט.

E פורש את ImT

כיוון שכל וקטור ב-V הינו צירוף לינארי של איברי הבסיס, T שולחת כל וקטור לצירוף לינארי של תמונות איברי הבסיס.

לכן, באופן כללי, בהנתן בסיס ל-V התמונות של איברי הבסיס פורשות (אך לא בהכרח בסיס) לתמונה של T.

כלומר, ImT=span\{Tv_1,...,Tv_k,Tu_1,...,Tu_p\}.


ברור כי Tv_1=...=Tv_k=0 (הרי בחרנו את v_1,...,v_k להיות בסיס לגרעין).

לכן מתקיים ImT=span\{Tu_1,...,Tu_p\}.

E בת"ל

ניקח צירוף לינארי מתאפס של איברי E:

a_1Tu_1+...+a_pTu_p=0

לכן

T(a_1u_1+...+a_pu_p)=0

לכן

a_1u_1+...+a_pu_p\in kerT

ולכן קיים צירוף לינארי של איברי הבסיס לגרעין כך ש:

a_1u_1+...+a_pu_p=b_1v_1+...+b_kv_k

נעביר אגף לקבל צירוף לינארי מתאפס של איברי הבסיס של V, ולכן כל המקדמים הם אפס

לכן E בת"ל.


ספירת מימדים וסיכום

הוכחנו, איפוא, כי E הינו בסיס לתמונה, ולכן יש לנו בסיסים ומימדים לכל תתי המרחבים המעורבים בעניין.

dim(V)=k+p=dim(kerT)+dim(ImT)
מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=משפט_הדרגה&oldid=14848