גרסה אחרונה מ־14:09, 2 בספטמבר 2018

תוכן עניינים

1 משפט הדרגה
2 הוכחה

משפט הדרגה

יהיו $V,W$ מ"ו נוצרים סופית, ותהי העתקה לינארית $T:V\to W$ . אזי מתקיים:

\dim(\ker T)+\dim(\Im T)=\dim(V)

הוכחה

נסמן את הבסיס לגרעין ב־ $\{v_1,\ldots,v_k\}$ .

נשלים את הבסיס הזה לבסיס ל־ $V$ , נסמנו $\{v_1,\ldots,v_k,u_1,\ldots,u_p\}$ .

נוכיח כי $E=\{Tu_1,\ldots,Tu_p\}$ בסיס לתמונה, ומכאן נסיק בקלות את המשפט.

E פורש את ImT

כיוון שכל וקטור ב־ $V$ הנו צירוף לינארי של אברי הבסיס, $T$ שולחת כל וקטור לצירוף לינארי של תמונות אברי הבסיס.

לכן, באופן כללי, בהנתן בסיס ל־ $V$ התמונות של אברי הבסיס פורשות (אך לא בהכרח בסיס) לתמונה של $T$ .

כלומר $\Im T=\text{span}\{Tv_1,\ldots,Tv_k,Tu_1,\ldots,Tu_p\}$ .

ברור כי $Tv_1=\cdots=Tv_k=0$ (הרי בחרנו את $v_1,\ldots,v_k$ להיות בסיס לגרעין).

לכן מתקיים $\Im T=\text{span}\{Tu_1,\ldots,Tu_p\}$ .

E בת"ל

ניקח צירוף לינארי מתאפס של אברי $E$ :

a_1Tu_1+\cdots+a_pTu_p=0

לכן

T(a_1u_1+\cdots+a_pu_p)=0

לכן

a_1u_1+\cdots+a_pu_p\in\ker T

ולכן קיים צירוף לינארי של אברי הבסיס לגרעין עבורו

a_1u_1+\cdots+a_pu_p=b_1v_1+\cdots+b_kv_k

נעביר אגף לקבל צירוף לינארי מתאפס של אברי הבסיס של $V$ , ולכן כל המקדמים הם 0.

לכן $E$ בת"ל.

ספירת ממדים וסיכום

הוכחנו אפוא, כי $E$ הנו בסיס לתמונה, ולכן יש לנו בסיסים וממדים לכל תת־המרחבים המעורבים בעניין.

\dim(V)=k+p=\dim(\ker T)+\dim(\Im T)

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
+חזרה ל[[משפטים/לינארית|משפטים בלינארית]]
 =משפט הדרגה=
-יהיו V,W מ"ו נוצרים סופית, ותהי העתקה לינארית <math>T:V\rightarrow W</math>. אזי מתקיים:
+יהיו <math>V,W</math> מ"ו נוצרים סופית, ותהי העתקה לינארית <math>T:V\to W</math> . אזי מתקיים:
+:<math>\dim(\ker T)+\dim(\Im T)=\dim(V)</math>
-::<math>dim(kerT)+dim(ImT)=dim(V)</math>
 =הוכחה=
+נסמן את הבסיס לגרעין ב־<math>\{v_1,\ldots,v_k\}</math> .
+נשלים את הבסיס הזה לבסיס ל־<math>V</math> , נסמנו <math>\{v_1,\ldots,v_k,u_1,\ldots,u_p\}</math> .
+נוכיח כי <math>E=\{Tu_1,\ldots,Tu_p\}</math> בסיס לתמונה, ומכאן נסיק בקלות את המשפט.
+===E פורש את ImT===
+כיוון שכל וקטור ב־<math>V</math> הנו צירוף לינארי של אברי הבסיס, <math>T</math> שולחת כל וקטור לצירוף לינארי של תמונות אברי הבסיס.
+לכן, באופן כללי, בהנתן בסיס ל־<math>V</math> התמונות של אברי הבסיס '''פורשות''' (אך לא בהכרח בסיס) לתמונה של <math>T</math> .
+כלומר <math>\Im T=\text{span}\{Tv_1,\ldots,Tv_k,Tu_1,\ldots,Tu_p\}</math> .
+ברור כי <math>Tv_1=\cdots=Tv_k=0</math> (הרי בחרנו את <math>v_1,\ldots,v_k</math> להיות בסיס לגרעין).
+לכן מתקיים <math>\Im T=\text{span}\{Tu_1,\ldots,Tu_p\}</math> .
+===E בת"ל===
+ניקח צירוף לינארי מתאפס של אברי <math>E</math> :
+:<math>a_1Tu_1+\cdots+a_pTu_p=0</math>
+לכן
+:<math>T(a_1u_1+\cdots+a_pu_p)=0</math>
+לכן
+:<math>a_1u_1+\cdots+a_pu_p\in\ker T</math>
+ולכן קיים צירוף לינארי של אברי הבסיס לגרעין עבורו
+:<math>a_1u_1+\cdots+a_pu_p=b_1v_1+\cdots+b_kv_k</math>
+נעביר אגף לקבל צירוף לינארי מתאפס של אברי הבסיס של <math>V</math> , ולכן כל המקדמים הם 0.
+לכן <math>E</math> בת"ל.
+===ספירת ממדים וסיכום===
+הוכחנו אפוא, כי <math>E</math> הנו בסיס לתמונה, ולכן יש לנו בסיסים וממדים לכל תת־המרחבים המעורבים בעניין.
+:<math>\dim(V)=k+p=\dim(\ker T)+\dim(\Im T)</math>
+[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]

הבדלים בין גרסאות בדף "משפט הדרגה"

גרסה אחרונה מ־14:09, 2 בספטמבר 2018

תוכן עניינים

משפט הדרגה

הוכחה

E פורש את ImT

E בת"ל

ספירת ממדים וסיכום

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים