הבדלים בין גרסאות בדף "משפט הדרגה"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
 
שורה 2: שורה 2:
  
 
=משפט הדרגה=
 
=משפט הדרגה=
יהיו V,W מ"ו נוצרים סופית, ותהי העתקה לינארית <math>T:V\rightarrow W</math>. אזי מתקיים:
+
יהיו <math>V,W</math> מ"ו נוצרים סופית, ותהי העתקה לינארית <math>T:V\to W</math> . אזי מתקיים:
 
+
:<math>\dim(\ker T)+\dim(\Im T)=\dim(V)</math>
::<math>dim(kerT)+dim(ImT)=dim(V)</math>
+
  
 
=הוכחה=
 
=הוכחה=
נסמן את הבסיס לגרעין ב-<math>\{v_1,...,v_k\}</math>.
+
נסמן את הבסיס לגרעין ב־<math>\{v_1,\ldots,v_k\}</math> .
  
נשלים את הבסיס הזה לבסיס ל-V, נסמנו ב- <math>\{v_1,...,v_k,u_1,...,u_p\}</math>.
+
נשלים את הבסיס הזה לבסיס ל־<math>V</math> , נסמנו <math>\{v_1,\ldots,v_k,u_1,\ldots,u_p\}</math> .
  
נוכיח כי <math>E=\{Tu_1,...,Tu_p\}</math> בסיס לתמונה, ומכאן נסיק בקלות את המשפט.
+
נוכיח כי <math>E=\{Tu_1,\ldots,Tu_p\}</math> בסיס לתמונה, ומכאן נסיק בקלות את המשפט.
  
 
===E פורש את ImT===
 
===E פורש את ImT===
כיוון שכל וקטור ב-V הינו צירוף לינארי של איברי הבסיס, T שולחת כל וקטור לצירוף לינארי של תמונות איברי הבסיס.
+
כיוון שכל וקטור ב־<math>V</math> הנו צירוף לינארי של אברי הבסיס, <math>T</math> שולחת כל וקטור לצירוף לינארי של תמונות אברי הבסיס.
  
לכן, באופן כללי, בהנתן בסיס ל-V התמונות של איברי הבסיס '''פורשות''' (אך לא בהכרח בסיס) לתמונה של T.
+
לכן, באופן כללי, בהנתן בסיס ל־<math>V</math> התמונות של אברי הבסיס '''פורשות''' (אך לא בהכרח בסיס) לתמונה של <math>T</math> .
  
כלומר, <math>ImT=span\{Tv_1,...,Tv_k,Tu_1,...,Tu_p\}</math>.
+
כלומר <math>\Im T=\text{span}\{Tv_1,\ldots,Tv_k,Tu_1,\ldots,Tu_p\}</math> .
  
  
ברור כי <math>Tv_1=...=Tv_k=0</math> (הרי בחרנו את <math>v_1,...,v_k</math> להיות בסיס לגרעין).
+
ברור כי <math>Tv_1=\cdots=Tv_k=0</math> (הרי בחרנו את <math>v_1,\ldots,v_k</math> להיות בסיס לגרעין).
  
לכן מתקיים <math>ImT=span\{Tu_1,...,Tu_p\}</math>.
+
לכן מתקיים <math>\Im T=\text{span}\{Tu_1,\ldots,Tu_p\}</math> .
  
 
===E בת"ל===
 
===E בת"ל===
 
+
ניקח צירוף לינארי מתאפס של אברי <math>E</math> :
ניקח צירוף לינארי מתאפס של איברי E:
+
:<math>a_1Tu_1+\cdots+a_pTu_p=0</math>
 
+
::<math>a_1Tu_1+...+a_pTu_p=0</math>
+
 
+
 
לכן
 
לכן
 
+
:<math>T(a_1u_1+\cdots+a_pu_p)=0</math>
::<math>T(a_1u_1+...+a_pu_p)=0</math>
+
 
+
 
לכן  
 
לכן  
 +
:<math>a_1u_1+\cdots+a_pu_p\in\ker T</math>
 +
ולכן קיים צירוף לינארי של אברי הבסיס לגרעין עבורו
 +
:<math>a_1u_1+\cdots+a_pu_p=b_1v_1+\cdots+b_kv_k</math>
 +
נעביר אגף לקבל צירוף לינארי מתאפס של אברי הבסיס של <math>V</math> , ולכן כל המקדמים הם 0.
  
::<math>a_1u_1+...+a_pu_p\in kerT</math>
+
לכן <math>E</math> בת"ל.
 
+
ולכן קיים צירוף לינארי של איברי הבסיס לגרעין כך ש:
+
 
+
::<math>a_1u_1+...+a_pu_p=b_1v_1+...+b_kv_k</math>
+
 
+
נעביר אגף לקבל צירוף לינארי מתאפס של איברי הבסיס של V, ולכן כל המקדמים הם אפס
+
 
+
לכן E בת"ל.
+
 
+
 
+
===ספירת מימדים וסיכום===
+
הוכחנו, אפוא, כי E הינו בסיס לתמונה, ולכן יש לנו בסיסים ומימדים לכל תתי המרחבים המעורבים בעניין.
+
 
+
::<math>dim(V)=k+p=dim(kerT)+dim(ImT)</math>
+
  
 +
===ספירת ממדים וסיכום===
 +
הוכחנו אפוא, כי <math>E</math> הנו בסיס לתמונה, ולכן יש לנו בסיסים וממדים לכל תת־המרחבים המעורבים בעניין.
 +
:<math>\dim(V)=k+p=\dim(\ker T)+\dim(\Im T)</math>
  
 
[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]
 
[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]

גרסה אחרונה מ־14:09, 2 בספטמבר 2018

חזרה למשפטים בלינארית

משפט הדרגה

יהיו V,W מ"ו נוצרים סופית, ותהי העתקה לינארית T:V\to W . אזי מתקיים:

\dim(\ker T)+\dim(\Im T)=\dim(V)

הוכחה

נסמן את הבסיס לגרעין ב־\{v_1,\ldots,v_k\} .

נשלים את הבסיס הזה לבסיס ל־V , נסמנו \{v_1,\ldots,v_k,u_1,\ldots,u_p\} .

נוכיח כי E=\{Tu_1,\ldots,Tu_p\} בסיס לתמונה, ומכאן נסיק בקלות את המשפט.

E פורש את ImT

כיוון שכל וקטור ב־V הנו צירוף לינארי של אברי הבסיס, T שולחת כל וקטור לצירוף לינארי של תמונות אברי הבסיס.

לכן, באופן כללי, בהנתן בסיס ל־V התמונות של אברי הבסיס פורשות (אך לא בהכרח בסיס) לתמונה של T .

כלומר \Im T=\text{span}\{Tv_1,\ldots,Tv_k,Tu_1,\ldots,Tu_p\} .


ברור כי Tv_1=\cdots=Tv_k=0 (הרי בחרנו את v_1,\ldots,v_k להיות בסיס לגרעין).

לכן מתקיים \Im T=\text{span}\{Tu_1,\ldots,Tu_p\} .

E בת"ל

ניקח צירוף לינארי מתאפס של אברי E :

a_1Tu_1+\cdots+a_pTu_p=0

לכן

T(a_1u_1+\cdots+a_pu_p)=0

לכן

a_1u_1+\cdots+a_pu_p\in\ker T

ולכן קיים צירוף לינארי של אברי הבסיס לגרעין עבורו

a_1u_1+\cdots+a_pu_p=b_1v_1+\cdots+b_kv_k

נעביר אגף לקבל צירוף לינארי מתאפס של אברי הבסיס של V , ולכן כל המקדמים הם 0.

לכן E בת"ל.

ספירת ממדים וסיכום

הוכחנו אפוא, כי E הנו בסיס לתמונה, ולכן יש לנו בסיסים וממדים לכל תת־המרחבים המעורבים בעניין.

\dim(V)=k+p=\dim(\ker T)+\dim(\Im T)