שינויים

יהיו <math>V,W </math> מ"ו נוצרים סופית, ותהי העתקה לינארית <math>T:V\rightarrow to W</math>. אזי מתקיים: ::<math>\dim(kerT\ker T)+\dim(ImT\Im T)=\dim(V)</math>

נסמן את הבסיס לגרעין ב-ב־<math>\{v_1,...\ldots,v_k\}</math>.

נשלים את הבסיס הזה לבסיס ל-ל־<math>V</math> , נסמנו ב- <math>\{v_1,...\ldots,v_k,u_1,...\ldots,u_p\}</math>.

נוכיח כי <math>E=\{Tu_1,...\ldots,Tu_p\}</math> בסיס לתמונה, ומכאן נסיק בקלות את המשפט.

כיוון שכל וקטור ב-ב־<math>V הינו </math> הנו צירוף לינארי של איברי אברי הבסיס, <math>T </math> שולחת כל וקטור לצירוף לינארי של תמונות איברי אברי הבסיס.

לכן, באופן כללי, בהנתן בסיס ל-ל־<math>V </math> התמונות של איברי אברי הבסיס '''פורשות''' (אך לא בהכרח בסיס) לתמונה של <math>T</math> .

כלומר, <math>ImT\Im T=\text{span}\{Tv_1,...\ldots,Tv_k,Tu_1,...\ldots,Tu_p\}</math>.

ברור כי <math>Tv_1=...\cdots=Tv_k=0</math> (הרי בחרנו את <math>v_1,...\ldots,v_k</math> להיות בסיס לגרעין).

לכן מתקיים <math>ImT\Im T=\text{span}\{Tu_1,...\ldots,Tu_p\}</math>.

 ניקח צירוף לינארי מתאפס של איברי אברי <math>E</math> : ::<math>a_1Tu_1+...\cdots+a_pTu_p=0</math> 

 ::<math>T(a_1u_1+...\cdots+a_pu_p)=0</math> 

::לכן <math>a_1u_1+...+a_pu_p\in kerTE</math> ולכן קיים צירוף לינארי של איברי הבסיס לגרעין כך ש: ::<math>a_1u_1+...+a_pu_p=b_1v_1+...+b_kv_k</math> נעביר אגף לקבל צירוף לינארי מתאפס של איברי הבסיס של V, ולכן כל המקדמים הם אפס לכן E בת"ל.  ===ספירת מימדים וסיכום===הוכחנו, אפוא, כי E הינו בסיס לתמונה, ולכן יש לנו בסיסים ומימדים לכל תתי המרחבים המעורבים בעניין. ::<math>dim(V)=k+p=dim(kerT)+dim(ImT)</math>