משפט הדרגה

מתוך Math-Wiki
גרסה מ־14:09, 2 בספטמבר 2018 מאת יהודה שמחה (שיחה | תרומות)

(הבדל) → הגרסה הקודמת | הגרסה האחרונה (הבדל) | הגרסה הבאה ← (הבדל)
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

חזרה למשפטים בלינארית

משפט הדרגה

יהיו V,W מ"ו נוצרים סופית, ותהי העתקה לינארית T:V\to W . אזי מתקיים:

\dim(\ker T)+\dim(\Im T)=\dim(V)

הוכחה

נסמן את הבסיס לגרעין ב־\{v_1,\ldots,v_k\} .

נשלים את הבסיס הזה לבסיס ל־V , נסמנו \{v_1,\ldots,v_k,u_1,\ldots,u_p\} .

נוכיח כי E=\{Tu_1,\ldots,Tu_p\} בסיס לתמונה, ומכאן נסיק בקלות את המשפט.

E פורש את ImT

כיוון שכל וקטור ב־V הנו צירוף לינארי של אברי הבסיס, T שולחת כל וקטור לצירוף לינארי של תמונות אברי הבסיס.

לכן, באופן כללי, בהנתן בסיס ל־V התמונות של אברי הבסיס פורשות (אך לא בהכרח בסיס) לתמונה של T .

כלומר \Im T=\text{span}\{Tv_1,\ldots,Tv_k,Tu_1,\ldots,Tu_p\} .


ברור כי Tv_1=\cdots=Tv_k=0 (הרי בחרנו את v_1,\ldots,v_k להיות בסיס לגרעין).

לכן מתקיים \Im T=\text{span}\{Tu_1,\ldots,Tu_p\} .

E בת"ל

ניקח צירוף לינארי מתאפס של אברי E :

a_1Tu_1+\cdots+a_pTu_p=0

לכן

T(a_1u_1+\cdots+a_pu_p)=0

לכן

a_1u_1+\cdots+a_pu_p\in\ker T

ולכן קיים צירוף לינארי של אברי הבסיס לגרעין עבורו

a_1u_1+\cdots+a_pu_p=b_1v_1+\cdots+b_kv_k

נעביר אגף לקבל צירוף לינארי מתאפס של אברי הבסיס של V , ולכן כל המקדמים הם 0.

לכן E בת"ל.

ספירת ממדים וסיכום

הוכחנו אפוא, כי E הנו בסיס לתמונה, ולכן יש לנו בסיסים וממדים לכל תת־המרחבים המעורבים בעניין.

\dim(V)=k+p=\dim(\ker T)+\dim(\Im T)