שינויים

יהי <math>V </math> מ"ו נוצר סופית, ויהי <math>B=\{v_1,...\ldots,v_n\}</math> בסיס ל-ל־<math>V</math> . יהי <math>W </math> מ"ו נוצר סופית ויהיו <math>w_1,...\ldots,w_n</math> וקטורים '''כלשהם''' (לא בהכרח שונים)

אזי '''קיימת''' העתקה לינארית '''יחידה''' <math>T:V\rightarrow to W</math> המקיימת: :<math>\begin{align}Tv_1&=w_1</math> <math>Tv_2=w_2</math> :<math>\\&\vdots</math> <math>\\Tv_n&=w_n\end{align}</math>

יהי <math>v\in V</math> אזי קיימת הצגה יחידה שלו לפי הבסיס <math>B</math> ::<math>v=a_1v_1+...\cdots+a_nv_n</math>. לכן, ניתן להגדיר היטב העתקה <math>T </math> על ידי ::<math>Tv=a_1w_1+...\cdots+a_nw_n</math>.  קל מאד להראות כי <math>T </math> המוגדרת לעיל הינה הנה העתקה לינארית וגם מקיימת את המשוואות במשפט (כלומר <math>Tv_i=w_i</math>).  נותר להוכיח כי T יחידה. אמנם, אם S העתקה לינארית המקיימת את המשוואות מהמשפט (כלומר <math>Sv_i=w_i</math>), מתקיים: ::<math>\forall v\in V:Sv=S(a_1v_1+...+a_nv_n)=a_1Sv_1+...+a_nSv_n=a_1w_1+...+a_nw_n=Tv</math>

נותר להוכיח כי <math>T</math> יחידה. אמנם, אם <math>S</math> העתקה לינארית המקיימת את המשוואות מהמשפט (כלומר <math>Sv_i=w_i</math>), מתקיים::<math>\forall v\in V:Sv=S(a_1v_1+\cdots+a_nv_n)=a_1Sv_1+\cdots+a_nSv_n=a_1w_1+\cdots+a_nw_n=Tv</math>ולכן <math>S=T</math> .