שינויים
חזרה ל[[משפטים/לינארית|משפטים בלינארית]]
=משפט ההגדרה=
יהי <math>V </math> מ"ו נוצר סופית, ויהי <math>B=\{v_1\mathbf{v}_1,...\ldots,v_n\mathbf{v}_n\}</math> בסיס ל-V. יהי W מ"ו נוצר סופית ויהיו ל־<math>w_1,...,w_nV</math> וקטורים '''כלשהם''' (לא בהכרח שונים).
אזי '''קיימת''' העתקה לינארית '''יחידה''' <math>Tv_1T:V\to W</math> המקיימת::<math>\begin{align}T(\mathbf{v}_1)&=\mathbf{w}_1\\&\vdots\\T(\mathbf{v}_n)&=w_1\mathbf{w}_n\end{align}</math>
=הוכחה=יהי <math>\mathbf{v}\in V</math>. אזי קיימת הצגה יחידה שלו לפי הבסיס <math>B</math>:<math>\mathbf{v}=a_1\mathbf{v}_1+\cdots+a_n\mathbf{v}_n</math>לכן ניתן להגדיר היטב העתקה <math>T</math> על ידי:<math>T(\mathbf{v})=a_1\mathbf{w}_1+\cdots+a_n\mathbf{w}_n</math>קל מאד להראות כי <math>T</math> המוגדרת לעיל הנה העתקה לינארית וגם מקיימת את המשוואות במשפט (כלומר <math>Tv_2T(\mathbf{v}_i)=w_2\mathbf{w}_i</math>).
נותר להוכיח כי <math>T</math> יחידה. אמנם, אם <math>S</math> העתקה לינארית המקיימת את המשוואות מהמשפט (כלומר <math>S(\mathbf{v}_i)=\mathbf{w}_i</math>), מתקיים::<math>\vdotsbegin{align}S(\mathbf{v})&=S(a_1\mathbf{v}_1+\cdots+a_n\mathbf{v}_n)\\&=a_1S(\mathbf{v}_1)+\cdots+a_nS(\mathbf{v}_n)\\&=a_1\mathbf{w}_1+\cdots+a_n\mathbf{w}_n\\&=T(\mathbf{v})\end{align}</math>ולכן <math>S=T</math>.
