שינויים

יהי <math>V </math> מ"ו נוצר סופית, ויהי <math>B=\{v_1\mathbf{v}_1,...\ldots,v_n\mathbf{v}_n\}</math> בסיס ל-V. יהי W מ"ו נוצר סופית ויהיו ל־<math>w_1,...,w_nV</math> וקטורים '''כלשהם''' (לא בהכרח שונים).

אזי '''קיימת''' העתקה לינארית '''יחידה''' יהי <math>T:V\rightarrow W</math> המקיימת:מ"ו נוצר סופית ויהיו <math>\mathbf{w}_1,\ldots,\mathbf{w}_n</math> וקטורים '''כלשהם''' (לא בהכרח שונים).

אזי '''קיימת''' העתקה לינארית '''יחידה''' <math>Tv_1=w_1T:V\to W</math> <math>Tv_2=w_2</math>המקיימת::<math>\begin{align}T(\mathbf{v}_1)&=\mathbf{w}_1\\&\vdots</math> <math>Tv_n\\T(\mathbf{v}_n)&=w_n\mathbf{w}_n\end{align}</math>

יהי <math>\mathbf{v}\in V</math> . אזי קיימת הצגה יחידה שלו לפי הבסיס <math>B</math>::<math>\mathbf{v}=a_1v_1a_1\mathbf{v}_1+...\cdots+a_nv_na_n\mathbf{v}_n</math>. לכן, ניתן להגדיר היטב העתקה <math>T </math> על ידי ::<math>TvT(\mathbf{v})=a_1w_1a_1\mathbf{w}_1+...\cdots+a_nw_na_n\mathbf{w}_n</math>.  קל מאד להראות כי <math>T </math> המוגדרת לעיל הינה הנה העתקה לינארית וגם מקיימת את המשוואות במשפט (כלומר <math>Tv_i=w_i</math>).  נותר להוכיח כי T יחידה. אמנם, אם S העתקה לינארית המקיימת את המשוואות מהמשפט (כלומר <math>Sv_i\mathbf{v}_i)=w_i\mathbf{w}_i</math>), מתקיים:.

::נותר להוכיח כי <math>T</math> יחידה. אמנם, אם <math>S</math> העתקה לינארית המקיימת את המשוואות מהמשפט (כלומר <math>S(\forall mathbf{v}_i)=\in Vmathbf{w}_i</math>), מתקיים:Sv:<math>\begin{align}S(\mathbf{v})&=S(a_1v_1a_1\mathbf{v}_1+...\cdots+a_nv_na_n\mathbf{v}_n)\\&=a_1Sv_1a_1S(\mathbf{v}_1)+...\cdots+a_nSv_na_nS(\mathbf{v}_n)\\&=a_1w_1a_1\mathbf{w}_1+...\cdots+a_nw_na_n\mathbf{w}_n\\&=TvT(\mathbf{v})\end{align}</math>ולכן <math>S=T</math>.