שינויים

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

משפט ההגדרה

נוספו 280 בתים, 18:16, 27 בפברואר 2021
=משפט ההגדרה=
יהי <math>V</math> מ"ו נוצר סופית, ויהי <math>B=\{v_1\mathbf{v}_1,\ldots,v_n\mathbf{v}_n\}</math> בסיס ל־<math>V</math> .  יהי <math>W</math> מ"ו נוצר סופית ויהיו <math>w_1\mathbf{w}_1,\ldots,w_n\mathbf{w}_n</math> וקטורים '''כלשהם''' (לא בהכרח שונים).
אזי '''קיימת''' העתקה לינארית '''יחידה''' <math>T:V\to W</math> המקיימת:
:<math>\begin{align}Tv_1T(\mathbf{v}_1)&=w_1\mathbf{w}_1\\&\vdots\\Tv_nT(\mathbf{v}_n)&=w_n\mathbf{w}_n\end{align}</math>
=הוכחה=
יהי <math>\mathbf{v}\in V</math> . אזי קיימת הצגה יחידה שלו לפי הבסיס <math>B</math>:<math>\mathbf{v}=a_1v_1a_1\mathbf{v}_1+\cdots+a_nv_na_n\mathbf{v}_n</math>לכן, ניתן להגדיר היטב העתקה <math>T</math> על ידי:<math>TvT(\mathbf{v})=a_1w_1a_1\mathbf{w}_1+\cdots+a_nw_na_n\mathbf{w}_n</math>קל מאד להראות כי <math>T</math> המוגדרת לעיל הנה העתקה לינארית וגם מקיימת את המשוואות במשפט (כלומר <math>Tv_iT(\mathbf{v}_i)=w_i\mathbf{w}_i</math>).
נותר להוכיח כי <math>T</math> יחידה. אמנם, אם <math>S</math> העתקה לינארית המקיימת את המשוואות מהמשפט (כלומר <math>Sv_iS(\mathbf{v}_i)=w_i\mathbf{w}_i</math>), מתקיים::<math>\forall vbegin{align}S(\in V:Svmathbf{v})&=S(a_1v_1a_1\mathbf{v}_1+\cdots+a_nv_na_n\mathbf{v}_n)\\&=a_1Sv_1a_1S(\mathbf{v}_1)+\cdots+a_nSv_na_nS(\mathbf{v}_n)\\&=a_1w_1a_1\mathbf{w}_1+\cdots+a_nw_na_n\mathbf{w}_n\\&=TvT(\mathbf{v})\end{align}</math>ולכן <math>S=T</math> .
[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]
226
עריכות