הבדלים בין גרסאות בדף "משפט ההגדרה"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
שורה 2: שורה 2:
  
 
=משפט ההגדרה=
 
=משפט ההגדרה=
יהי V מ"ו נוצר סופית, ויהי <math>B=\{v_1,...,v_n\}</math> בסיס ל-V. יהי W מ"ו נוצר סופית ויהיו <math>w_1,...,w_n</math> וקטורים '''כלשהם''' (לא בהכרח שונים)
+
יהי <math>V</math> מ"ו נוצר סופית, ויהי <math>B=\{v_1,\ldots,v_n\}</math> בסיס ל־<math>V</math> . יהי <math>W</math> מ"ו נוצר סופית ויהיו <math>w_1,\ldots,w_n</math> וקטורים '''כלשהם''' (לא בהכרח שונים)
  
אזי '''קיימת''' העתקה לינארית '''יחידה''' <math>T:V\rightarrow W</math> המקיימת:
+
אזי '''קיימת''' העתקה לינארית '''יחידה''' <math>T:V\to W</math> המקיימת:
 
+
:<math>\begin{align}Tv_1&=w_1\\&\vdots\\Tv_n&=w_n\end{align}</math>
<math>Tv_1=w_1</math>
+
 
+
<math>Tv_2=w_2</math>
+
 
+
:<math>\vdots</math>
+
 
+
<math>Tv_n=w_n</math>
+
  
 
=הוכחה=
 
=הוכחה=
יהי <math>v\in V</math> אזי קיימת הצגה יחידה שלו לפי הבסיס B
+
יהי <math>v\in V</math> אזי קיימת הצגה יחידה שלו לפי הבסיס <math>B</math>
 
+
:<math>v=a_1v_1+\cdots+a_nv_n</math>
::<math>v=a_1v_1+...+a_nv_n</math>.
+
לכן, ניתן להגדיר היטב העתקה <math>T</math> על ידי
 
+
:<math>Tv=a_1w_1+\cdots+a_nw_n</math>
לכן, ניתן להגדיר היטב העתקה T על ידי
+
קל מאד להראות כי <math>T</math> המוגדרת לעיל הנה העתקה לינארית וגם מקיימת את המשוואות במשפט (כלומר <math>Tv_i=w_i</math>).
 
+
::<math>Tv=a_1w_1+...+a_nw_n</math>.
+
 
+
 
+
קל מאד להראות כי T המוגדרת לעיל הינה העתקה לינארית וגם מקיימת את המשוואות במשפט (כלומר <math>Tv_i=w_i</math>).
+
 
+
 
+
נותר להוכיח כי T יחידה. אמנם, אם S העתקה לינארית המקיימת את המשוואות מהמשפט (כלומר <math>Sv_i=w_i</math>), מתקיים:
+
 
+
::<math>\forall v\in V:Sv=S(a_1v_1+...+a_nv_n)=a_1Sv_1+...+a_nSv_n=a_1w_1+...+a_nw_n=Tv</math>
+
  
ולכן S=T.
+
נותר להוכיח כי <math>T</math> יחידה. אמנם, אם <math>S</math> העתקה לינארית המקיימת את המשוואות מהמשפט (כלומר <math>Sv_i=w_i</math>), מתקיים:
 +
:<math>\forall v\in V:Sv=S(a_1v_1+\cdots+a_nv_n)=a_1Sv_1+\cdots+a_nSv_n=a_1w_1+\cdots+a_nw_n=Tv</math>
 +
ולכן <math>S=T</math> .
  
 
[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]
 
[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]

גרסה מ־14:22, 2 בספטמבר 2018

חזרה למשפטים בלינארית

משפט ההגדרה

יהי V מ"ו נוצר סופית, ויהי B=\{v_1,\ldots,v_n\} בסיס ל־V . יהי W מ"ו נוצר סופית ויהיו w_1,\ldots,w_n וקטורים כלשהם (לא בהכרח שונים)

אזי קיימת העתקה לינארית יחידה T:V\to W המקיימת:

\begin{align}Tv_1&=w_1\\&\vdots\\Tv_n&=w_n\end{align}

הוכחה

יהי v\in V אזי קיימת הצגה יחידה שלו לפי הבסיס B

v=a_1v_1+\cdots+a_nv_n

לכן, ניתן להגדיר היטב העתקה T על ידי

Tv=a_1w_1+\cdots+a_nw_n

קל מאד להראות כי T המוגדרת לעיל הנה העתקה לינארית וגם מקיימת את המשוואות במשפט (כלומר Tv_i=w_i).

נותר להוכיח כי T יחידה. אמנם, אם S העתקה לינארית המקיימת את המשוואות מהמשפט (כלומר Sv_i=w_i), מתקיים:

\forall v\in V:Sv=S(a_1v_1+\cdots+a_nv_n)=a_1Sv_1+\cdots+a_nSv_n=a_1w_1+\cdots+a_nw_n=Tv

ולכן S=T .