הבדלים בין גרסאות בדף "משפט ההגדרה"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
 
שורה 2: שורה 2:
  
 
=משפט ההגדרה=
 
=משפט ההגדרה=
יהי <math>V</math> מ"ו נוצר סופית, ויהי <math>B=\{v_1,\ldots,v_n\}</math> בסיס ל־<math>V</math> . יהי <math>W</math> מ"ו נוצר סופית ויהיו <math>w_1,\ldots,w_n</math> וקטורים '''כלשהם''' (לא בהכרח שונים)
+
יהי <math>V</math> מ"ו נוצר סופית, ויהי <math>B=\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\}</math> בסיס ל־<math>V</math>.
 +
 
 +
יהי <math>W</math> מ"ו נוצר סופית ויהיו <math>\mathbf{w}_1,\ldots,\mathbf{w}_n</math> וקטורים '''כלשהם''' (לא בהכרח שונים).
  
 
אזי '''קיימת''' העתקה לינארית '''יחידה''' <math>T:V\to W</math> המקיימת:
 
אזי '''קיימת''' העתקה לינארית '''יחידה''' <math>T:V\to W</math> המקיימת:
:<math>\begin{align}Tv_1&=w_1\\&\vdots\\Tv_n&=w_n\end{align}</math>
+
:<math>\begin{align}T(\mathbf{v}_1)&=\mathbf{w}_1\\&\vdots\\T(\mathbf{v}_n)&=\mathbf{w}_n\end{align}</math>
  
 
=הוכחה=
 
=הוכחה=
יהי <math>v\in V</math> אזי קיימת הצגה יחידה שלו לפי הבסיס <math>B</math>
+
יהי <math>\mathbf{v}\in V</math>. אזי קיימת הצגה יחידה שלו לפי הבסיס <math>B</math>
:<math>v=a_1v_1+\cdots+a_nv_n</math>
+
:<math>\mathbf{v}=a_1\mathbf{v}_1+\cdots+a_n\mathbf{v}_n</math>
לכן, ניתן להגדיר היטב העתקה <math>T</math> על ידי
+
לכן ניתן להגדיר היטב העתקה <math>T</math> על ידי
:<math>Tv=a_1w_1+\cdots+a_nw_n</math>
+
:<math>T(\mathbf{v})=a_1\mathbf{w}_1+\cdots+a_n\mathbf{w}_n</math>
קל מאד להראות כי <math>T</math> המוגדרת לעיל הנה העתקה לינארית וגם מקיימת את המשוואות במשפט (כלומר <math>Tv_i=w_i</math>).
+
קל מאד להראות כי <math>T</math> המוגדרת לעיל הנה העתקה לינארית וגם מקיימת את המשוואות במשפט (כלומר <math>T(\mathbf{v}_i)=\mathbf{w}_i</math>).
  
נותר להוכיח כי <math>T</math> יחידה. אמנם, אם <math>S</math> העתקה לינארית המקיימת את המשוואות מהמשפט (כלומר <math>Sv_i=w_i</math>), מתקיים:
+
נותר להוכיח כי <math>T</math> יחידה. אמנם, אם <math>S</math> העתקה לינארית המקיימת את המשוואות מהמשפט (כלומר <math>S(\mathbf{v}_i)=\mathbf{w}_i</math>), מתקיים:
:<math>\forall v\in V:Sv=S(a_1v_1+\cdots+a_nv_n)=a_1Sv_1+\cdots+a_nSv_n=a_1w_1+\cdots+a_nw_n=Tv</math>
+
:<math>\begin{align}S(\mathbf{v})&=S(a_1\mathbf{v}_1+\cdots+a_n\mathbf{v}_n)\\&=a_1S(\mathbf{v}_1)+\cdots+a_nS(\mathbf{v}_n)\\&=a_1\mathbf{w}_1+\cdots+a_n\mathbf{w}_n\\&=T(\mathbf{v})\end{align}</math>
ולכן <math>S=T</math> .
+
ולכן <math>S=T</math>.
  
 
[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]
 
[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]

גרסה אחרונה מ־18:16, 27 בפברואר 2021

חזרה למשפטים בלינארית

משפט ההגדרה

יהי V מ"ו נוצר סופית, ויהי B=\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\} בסיס ל־V.

יהי W מ"ו נוצר סופית ויהיו \mathbf{w}_1,\ldots,\mathbf{w}_n וקטורים כלשהם (לא בהכרח שונים).

אזי קיימת העתקה לינארית יחידה T:V\to W המקיימת:

\begin{align}T(\mathbf{v}_1)&=\mathbf{w}_1\\&\vdots\\T(\mathbf{v}_n)&=\mathbf{w}_n\end{align}

הוכחה

יהי \mathbf{v}\in V. אזי קיימת הצגה יחידה שלו לפי הבסיס B

\mathbf{v}=a_1\mathbf{v}_1+\cdots+a_n\mathbf{v}_n

לכן ניתן להגדיר היטב העתקה T על ידי

T(\mathbf{v})=a_1\mathbf{w}_1+\cdots+a_n\mathbf{w}_n

קל מאד להראות כי T המוגדרת לעיל הנה העתקה לינארית וגם מקיימת את המשוואות במשפט (כלומר T(\mathbf{v}_i)=\mathbf{w}_i).

נותר להוכיח כי T יחידה. אמנם, אם S העתקה לינארית המקיימת את המשוואות מהמשפט (כלומר S(\mathbf{v}_i)=\mathbf{w}_i), מתקיים:

\begin{align}S(\mathbf{v})&=S(a_1\mathbf{v}_1+\cdots+a_n\mathbf{v}_n)\\&=a_1S(\mathbf{v}_1)+\cdots+a_nS(\mathbf{v}_n)\\&=a_1\mathbf{w}_1+\cdots+a_n\mathbf{w}_n\\&=T(\mathbf{v})\end{align}

ולכן S=T.