משפט ההגדרה

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

חזרה למשפטים בלינארית

משפט ההגדרה

יהי V מ"ו נוצר סופית, ויהי B=\{v_1,...,v_n\} בסיס ל-V. יהי W מ"ו נוצר סופית ויהיו w_1,...,w_n וקטורים כלשהם (לא בהכרח שונים)

אזי קיימת העתקה לינארית יחידה T:V\rightarrow W המקיימת:

Tv_1=w_1

Tv_2=w_2

\vdots

Tv_n=w_n

הוכחה

יהי v\in V אזי קיימת הצגה יחידה שלו לפי הבסיס B

v=a_1v_1+...+a_nv_n.

לכן, ניתן להגדיר היטב העתקה T על ידי

Tv=a_1w_1+...+a_nw_n.


קל מאד להראות כי T המוגדרת לעיל הינה העתקה לינארית וגם מקיימת את המשוואות במשפט (כלומר Tv_i=w_i).


נותר להוכיח כי T יחידה. אמנם, אם S העתקה לינארית המקיימת את המשוואות מהמשפט (כלומר Sv_i=w_i), מתקיים:

\forall v\in V:Sv=S(a_1v_1+...+a_nv_n)=a_1Sv_1+...+a_nSv_n=a_1w_1+...+a_nw_n=Tv

ולכן S=T.