משפט ההגדרה

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

חזרה למשפטים בלינארית

משפט ההגדרה

יהי V מ"ו נוצר סופית, ויהי B=\{v_1,\ldots,v_n\} בסיס ל־V . יהי W מ"ו נוצר סופית ויהיו w_1,\ldots,w_n וקטורים כלשהם (לא בהכרח שונים)

אזי קיימת העתקה לינארית יחידה T:V\to W המקיימת:

\begin{align}Tv_1&=w_1\\&\vdots\\Tv_n&=w_n\end{align}

הוכחה

יהי v\in V אזי קיימת הצגה יחידה שלו לפי הבסיס B

v=a_1v_1+\cdots+a_nv_n

לכן, ניתן להגדיר היטב העתקה T על ידי

Tv=a_1w_1+\cdots+a_nw_n

קל מאד להראות כי T המוגדרת לעיל הנה העתקה לינארית וגם מקיימת את המשוואות במשפט (כלומר Tv_i=w_i).

נותר להוכיח כי T יחידה. אמנם, אם S העתקה לינארית המקיימת את המשוואות מהמשפט (כלומר Sv_i=w_i), מתקיים:

\forall v\in V:Sv=S(a_1v_1+\cdots+a_nv_n)=a_1Sv_1+\cdots+a_nSv_n=a_1w_1+\cdots+a_nw_n=Tv

ולכן S=T .